역학 3: 탄성 줄, 단진동, 원운동 및 질량 중심
역학 3 (M3, 시험지 WME03/01, 1 시간 30 분, 75 점, 첫 평가 6월 2020) 최종 역학 단원이다: P1–P4, M1 및 M2가 가정됨. 전체 시험지는 symbolically — answers stay in $m$, $g$, $a$, $L$, $r$, and exact algebra is the marks. 이 참고 자료는 $x$에 대한 가속도 함수, 탄성 줄과 스프링, 변력 및 단순 진동, 수평 및 수직 원운동에 대해 설명하며, 적분을 통한 질량 중심을 다룹니다.
M3 필수 지식 (책자에 포함되지 않음):
| 계열 | 공식 |
|---|---|
| 후크의 법칙 | 장력 $T = \dfrac{\lambda e}{L}$ ($\lambda$ 강성 계수, $e$ 신도, $L$ 자연 길이) |
| 탄성 에너지 | $E = \dfrac{\lambda e^2}{2L}$ |
| 단진동 | $\ddot x = -\omega^2 x$, 주파수 $\tfrac{2\pi}\omega$, $v^2 = \omega^2(a^2 - x^2)$ |
| 원운동 | $a = r\omega^2 = \tfrac{v^2}r$ 중심 방향; $v = r\omega$ |
| 질량 중심(COM) | $\bar x = \dfrac{\int x\,y^2\,dx}{\int y^2\,dx}$ 회전체(회전축 $x$) |
| 운동학 | $a = v\dfrac{dv}{dx}$일 때 $a = f(x)$ |
x에 대한 가속도 함수를 이용한 운동학
가속도가 변위에 의존할 경우, $\tfrac{dv}{dt}$을 $v\dfrac{dv}{dx}$로 대체하고 $x$에 대해 적분합니다; 시간에 의존할 때는 $\tfrac{dx}{dt}$를 분리합니다. 초기 조건은 각 상수를 결정하므로, 대입 전에 명시하십시오. 대입하는 과정.
해제된 예시 (WME03 6월 2025 Q3). $a = 4x - 2$에서 $t = 1$일 때, $x = 0$, $v = 1$: (a) $v\tfrac{dv}{dx} = 4x - 2$이 $\tfrac12v^2 = 2x^2 - 2x + \tfrac12$을 주므로, $v^2 = (2x-1)^2$와 (양수 방향) $v = 1 - 2x$. (b) $v = 1 - 2x$을 대입하면 를 $a = \tfrac{dv}{dt}$에 대입하면 $\tfrac{dv}{dt} = -2v$(또는 개별적으로 $\tfrac{dx}{dt} = 1 - 2x$): $\ln v = -2t + C$과 $v(1) = 1$이 $v = e^{2-2t}$을 만듦.
탄성 끈 및 스프링
후크의 법칙: 자연 길이 $L$인 가벼운 탄성 끈(또는 스프링)과 modulus of elasticity $\lambda$ stretched by $e$ exerts the tension $T = \tfrac{\lambda e}{L}$ — 양쪽 끝에서 안쪽으로 당기는 장력. 저장된 탄성 에너지는 $\tfrac{\lambda e^2}{2L}$. 일-에너지 원리 문제는 이제 세 가지 에너지 저장소: 운동에너지, 중력 에너지 및 탄성 에너지, 그리고 저항에 대해 이루어진 일까지 포함한다.
풀이 예제 — 두 부분 줄의 중점 (WME03 6월 2025 Q4). 다음 줄을 가진 $\lambda = mg$, 자연 길이 $3a$, A와 B 사이에 고정됨 ($AB = 4a$ 수평); P가 중점 C(AB의 중점)에서 아래쪽으로 투사되며 $\sqrt{3ag/2}$에서, 그리고 $CD = \tfrac32a$; 양쪽 절반 합: $\tfrac{3a}2$ ✓. 그 다음 저항 C에서 절반 길이는 $2a$ (연장 $\tfrac a2$); D에서는 $\sqrt{(2a)^2 + (\tfrac32a)^2} = \tfrac{5a}2$ (확장 $a$). 탄성 에너지 증가분 per 끝으로부터 $\dfrac{mg}{2\cdot\frac{3a}2}\big(a^2 - \tfrac{a^2}4\big) = \dfrac{mg}{3a}\cdot\tfrac{3a^2}4 = \tfrac{mga}4$, 중심으로부터 $\tfrac12mga$이다. 두 끈 사이의 입자는 $\tfrac15mg$ over $\tfrac{3a}2$ 및 중력势能 손실 $mg\cdot\tfrac{3a}2$:
따라서 $V = \sqrt{29ag/10}$입니다.
해설 예제 — 경첩이 있는 막대 (WME03 June 2025 Q1). 균일한 막대 AB(질량 $m$, 길이 $2a$)가 A에서 경첩으로 고정되어 있으며, 탄성 줄($\lambda = 2mg$, 자연 길이 $L$)이 수직으로 B에서 C까지 이어집니다. 여기서 AC는 수평이고 BC $= 1.2a$ — 이 기하학적 배치에 의해 B는 A에서 수평으로 $1.6a$, 그 아래에 $1.2a$(3–4–5 삼각형), 따라서 막대 중점 A를 지나는 수직선으로부터 $0.8a$ 떨어진 곳에 있습니다. A에 대한 모멘트: $T\cdot 1.6a = mg\cdot 0.8a$이므로, $T = \tfrac12mg$; 이후 후크의 법칙에 따라 $\tfrac12mg = \tfrac{2mg}{L}(1.2a - L)$을 얻으며, 즉, $L = 0.96a = \tfrac{24}{25}a$.
가변력 및 단순 조화 운동
일차원에서의 가변력 $F(x)$에 대해: $m\dfrac{dv}{dt} = F$은 다음과 같이 표현됩니다. $mv\dfrac{dv}{dx} = F(x)$; 역제곱 중력은 $F = \dfrac{k}{x^2}$ 형태로 나타납니다. 단순 조화 운동(SHM) 은 $\ddot x = -\omega^2x$을 의미합니다. 부호는 이를 증명하는 근거입니다. 표준 결과(인용 가능): 주기 $\tfrac{2\pi}{\omega}$, $v^2 = \omega^2(a^2 - x^2)$, $x = a\cos\omega t$ from an end, $a\sin\omega t$ from the centre. A particle between two 합력이 비례할 때 항상 단순 조화 운동을 합니다. 평형 지점으로부터.
해설 예시 — 두 줄 사이 SHM (WME03 June 2025 Q7). P에서 A까지의 줄 ($\lambda = mg$, 자연 길이 $3L$) 및 B까지의 줄 ($\lambda = 2mg$, 자연 길이 $2L$), $AB = 7L$; E에서 평형 상태이며 각 장력이 $AE = 4.5L$(장력 $= \tfrac{mg}2$ — E가 진짜입니다). E에서 B 방향으로 $x$만큼 변위할 때, B-string은 짧아지고 A-string은 길어집니다:
따라서 P는 SHM으로 움직이며, $\omega^2 = \tfrac{4g}{3L}$이며 주기는 $\tfrac{2\pi}{\omega} = \pi\sqrt{\tfrac{3L}g}$. C에서 $AC = 5L$로 방출되며 진폭 $\tfrac L2$: $v_{max} = \tfrac L2\omega = \sqrt{\tfrac{gL}3}$. 시간 중 $|v| \le \sqrt{\tfrac{gL}{12}} = \tfrac{v_{max}}2$: $x = \tfrac L2\cos\omega t$ 끝에서, $v \propto \sin\omega t$와 $|\sin\omega t| \le \tfrac12$이 성립함 for a third of every oscillation, so the slow time is $\tfrac13 \times \pi\sqrt{\tfrac{3L}g} = \pi\sqrt{\tfrac{L}{3g}}$.
수평 원 운동
각속도 $\omega$ (rad s⁻¹)과 $v = r\omega$; 원심 가속도는 $r\omega^2 = \tfrac{v^2}r$이며 중심을 향함. 중심 방향으로 분해하여, 힘 방정식을 세우고 수직 방향 평형을 구한다 — 원추 진자, 즉 줄로 묶인 매끄러운 탁자 위의 입자 및 경사면은 세 가지 표준 상황이다.
해설 예제 — 탁자 위의 원 운동 (WME03 June 2025 Q2). P(질량 $m$)가 매끄러운 테이블 위에 O에 줄로 길이가 $a$인 끈을 매달아 테이블과 30°의 각도를 이루며, 원운동을 하는 원 운동으로 $\omega = \sqrt{\tfrac{g}{2a}}$입니다. 원의 반지름은 $a\cos30°$입니다. 중심 방향으로는 $T\cos30° = m(a\cos30°)\omega^2 = ma\cos30°\cdot\tfrac{g}{2a}$, 따라서 $T = \tfrac{mg}2$. 수직 방향: $R = mg - T\sin30° = mg - \tfrac{mg}4 = \tfrac{3mg}4$.
수직 원 운동
수직 원은 에너지를 중심 방향 뉴턴 법칙과 결합한다. 다른 에너지 전달이 없을 때 운동량의 변화량은 중력 및 탄성 위치에너지의 손실량과 같다. 이 에너지 방정식은 다음과 결합된다. 중심으로 향하는 뉴턴의 법칙; 표면에서의 이탈 조건은 $R = 0$, 선 줄 $T = 0$. 이탈 후 입자는 포물선 운동: 수직 성분의 속도가 보존된다.
해설 예제 — 구로부터 이탈 (WME03 June 2025 Q5). P가 매끄러운 구면 위의 A점에서 방출됨, 구(반지름 $r$), OA가 수직선으로부터 $\alpha$ 각도로 되어 있음; B점에서 이탈하며, OB는 수직선으로부터 $\alpha$ 각도를 이룸 위이다. (a) 에너지 A→B: A의 O 기준 높이는 $r\cos\alpha$이고 B의 O 기준 높이는 $r\sin\alpha$이므로, P는 $r(\cos\alpha - \sin\alpha)$만큼 떨어진다: $\tfrac12mv^2 = mgr(\cos\alpha - \sin\alpha)$을 주어 $v^2 = 2gr(\cos\alpha - \sin\alpha)$이다. (b) B에서 $R = 0$일 때: $mg\sin\alpha = \tfrac{mv^2}r$ (무게 성분이 O를 향함); $v^2$ 소거: $\sin\alpha = 2(\cos\alpha - \sin\alpha)$, so $\tan\alpha = \tfrac23$. (c) 이후 수평 성분 $v\sin\alpha$은 보존되며, O를 지나는 수평선에서의 속도는 다음을 만족한다: $\tfrac12mW^2 = mgr\cos\alpha$이며, $\cos^2\theta = \dfrac{v^2\sin^2\alpha}{W^2} = \dfrac{8}{78} = \dfrac4{39}$ — 따라서 $\cos\theta = \tfrac2{\sqrt{39}}$.
질량 중심 적분을 통한 도출
균일한 회전체의 경우, $\bar x = \dfrac{\int_0^a xy^2\,dx}{\int_0^a y^2\,dx}$ (무거운 얇은 원판이 $\pi y^2\,dx$로.) 반구 결과는 단순히 인용되는 것이 아니라 유도되어야 함: $y^2 = a^2 - x^2$, $\int_0^a x(a^2 - x^2)dx = \tfrac{a^4}4$ 및 $\int_0^a (a^2 - x^2)dx = \tfrac{2a^3}3$을 사용하여, 평면 면으로부터 $\bar x = \tfrac{3a}8$를 얻는다. 복합 체: 부품을 질량(유사 입체의 경우 반지름³)으로 가중 치환하고 모멘트를 취합니다. 제거된 부품은 음의 질량을 가집니다. 기울어진 물체의 평형: 질량 중심이 접촉점의 수직 위에 위치함 — 기울어진 물체의 평형. 면. 합성체: 질량(유사 입체는 반경의 세제곱)으로 무게를 가중하고 합산 모멘트; 제거된 부분은 음의 질량을 가짐. ** 기울어진 물체의 평형**: 무게중심은 접촉점의 수직 위쪽에 위치함.
해설 예제 — 조각난 반구 (WME03 June 2025 Q6). S는 실체 반구입니다 (반지름 $a$)에서 반지름-$\tfrac a2$인 반구가 제거되었으며, 평면 면은 같은 평면에 있고, 중심은 $O$(큰 것)과 $C$ with $OC = \tfrac a2$. 질량 $8 : 1 : 7$(반경의 세제곱); 축을 따라 $8\cdot\tfrac{3a}8 - 1\cdot\tfrac{3a}{16} = 7\bar y$이므로, S의 질량중심(COM)은 OC-선을 통해 O에서 $\tfrac{45a}{112}$. OC에 수직(모멘트 계산 시 평면 내 축을 통한 O): $8\cdot 0 - 1\cdot\tfrac a2 = 7\bar x$, 따라서 $\bar x = \tfrac{a}{14}$. 곡면 위에 기울어져 놓여 있을 때, $\tan\theta = \dfrac{a/14}{45a/112} = \tfrac8{45}$입니다.
이 단원을 완료하기 전 체크리스트
- $a = f(x)$를 $v\,dv/dx$을 통해 변환하고 주어진 순간으로부터 상수를 닫고, 분리법 또는 $x$를 소거하여 두 번째 적분을 완료하십시오.
- $T = \lambda e/L$와 탄성 에너지 $\lambda e^2/2L$을 사용하십시오; 중점 줄의 경우 각 절반을 별도로 처리하십시오; 저항을 고려한 거리별 3단계 운동에너지 법칙을 적용하십시오.
- 평형 상태의 힌지 막대에 후크의 법칙과 모멘트를 결합하십시오(기하학 우선: 부착점의 수평/수직 편위).
- 평형 장력을 먼저 유도한 뒤 $\ddot x = -\omega^2 x$(평형 장력)를 유도하여 SHM을 증명하십시오. 그 후 주기, $v_{max} = a\omega$ 및 사각함수 시간 분수를 인용하십시오.
- 중심 방향으로 분해하시오($r\omega^2$) 및 수평 원을 위한 수직 방향 — 테이블 반응력, 원추 진자, Banking된 표면.
- 수직 원 운동의 경우: 수준 간 에너지, 이륙 지점에서 $R = 0$(또는 $T = 0$), 수평 성분을 보존하는 포물선 연속 운동.
- 원반 적분을 통해 반구의 질량중심을 유도하십시오; 부호 있는 질량을 사용하여 복합체를 구성하십시오; 질량중심이 접촉점 위에 있어야 하는 조건으로 기울어진 평형을 닫으십시오.