기하학 및 측정

AQA GCSE Mathematics 8300 topic 3.4 (specification Version 1.0, 12 September 2014, 최초 시험 2017). 기초 수준 줄 G1–G25은 3단계로 구성되며, 고수준 전용 추가 내용은 음의 확대 배율 인자(G7), 변화와 변환 조합에 대한 불변성(G8), 표준 원 정리 증명(G10), 도면 및 정면도 작도(G13), 구, 사각锥, 원추 및 합성 입체의 표면적과 부피(단면체 포함)(G17), 그 $k : k^2 : k^3$ 비례 계단(G19), 평면상 직삼각형 및 일반 삼각형(3D)(G20), 사인 법칙 및 코사인 법칙(G22), $\tfrac12 ab\sin C$(G23) 및 기하학적 벡터 증명(G25). 6월 2024 고수준 시험지에는 아래 검증된 기준점이 포함되어 있습니다.

주제 3.4 필수 지식:

관용적인 용어와 표기법을 사용하십시오 — 점, 선, 꼭짓점, 모서리, 평면, 평행선, 수직선, 직각, 다각형, 정다각형(모든 모든 변과 모든 각이 같음) 및 반사 대칭 및/또는 회전 대칭을 가진 다각형 (G1); 삼각형의 변과 각을 표준 방식으로 표기함 ($AB$ 변, 각) $ABC$ 정점 $B$에 위치함) 및 문단 설명을 바탕으로 도형을 그리십시오. 대응각과 교차각은 평행선을 명시해야 하며, 'Z각'이라는 용어는 사용하지 않음 (G3): 한 점에서의 각의 합은 $360^\circ$이며, 직선 위의 각은 $180^\circ$입니다. 맞꼭지각은 같음; 삼각형의 내각의 합 $180^\circ$을 유도하다(한 꼭짓점을 지나 다른 변과 평행한 선을 그어) 반대 변에서 두 밑각을 한 직선 위에 옮겨 놓음) 따라서 다각형 내각의 합 $(n-2) \times 180^\circ$ — 오각형은 삼각형 세 개로 나뉘며 삼각형: $540^\circ$; 정육각형의 내각은 $120^\circ$이고 외각 회전량은 $60^\circ$; 외각 회전량이 $45^\circ$인 경우, 변의 수는 8개이다.

특수 사각형의 성질과 정의를 도출하고 적용하시오(G4): 정사각형은 4개의 등변과 4개의 직각을 가지며, 대칭축의 개수는 4개이고 회전 순위는 4입니다; 정사각형이 아닌 직사각형은 대변이 같고 길이가 같은 대각선이 서로를 이등분합니다. 정사각형이 아닌 마름모는 4개의 등변과 수직으로 서로를 이등분하는 대각선을 가집니다. 평행사변형의 인접한 두 쌍의 같은 변을 가집니다; 사다리꼴은 한 쌍의 평행한 변을 가집니다. 삼각형: 이등변삼각형 (두 개의 같은 변, 같은 밑변의 각), 정삼각형, 이등변이 아닌 삼각형, 직각삼각형, 예각삼각형, 둔각삼각형. 불등변, 직각, 예각, 둔각입니다.

정육각형: 외각 360° ÷ 6 = 60°, 내각 180° − 60° = 120°

표준 자와 원의 작도를 사용하시오(추가 기초, G2): 다음 perpendicular bisector of a segment (equal arcs from both endpoints, radius more than 반 주어진 각의 이등분선; 반지름이 같은 두 원으로 $60^\circ$ 크기의 각을 만듭니다(정삼각형). 이를 사용하여 주어진 도형을 작도하고 circles (an equilateral triangle). Use these to construct given figures and solve locus problems — points equidistant from two points lie on the perpendicular bisector; at fixed distance $r$ from a point, on a circle; equidistant from two lines, on an angle bisector. The perpendicular distance from a point to a line is the shortest (any slanted route is a longer hypotenuse). Keep the construction arcs 증거로 삼다.

Identify, describe and construct congruent and similar shapes by rotation, reflection, translation and enlargement (G7), including on coordinate axes; additional foundation adds fractional scale factors; Higher adds negative ones. For centre $C = (1,1)$, point $P = (3,2)$ and factor $k$, the image is $C + k(P - C)$: $k = 2$가 $(5,3)$로, $k = \tfrac12$이 $(2, 1.5)$로 변하며, 이 고급 과정의 $k = -2$는 $(-3,-1)$을 생성하며, 이는 중심의 반대편에 위치한다. 고급 과정(G8) 복합 변환으로 얻어지는 변화와 불변 성질을 설명한다. 회전, 반사 및 평행이동: 길이와 각은 보존됨 (등거리 변환); 두 평행선 $x = 0$에 대한 반사 후 $x = 2$를 통해 $(3,2)$로 이동함 $(-3,2)$을 거쳐 $(7,2)$로 — $(4,0)$만큼의 평행이동; 교차하는 선에서는 미러 사이의 방향각의 두 배에 해당하는 회전을 생성함. 평행이동은 세로 벡터 표기법으로 나타냄. 두 거울 사이의 방향각의 두 배만큼 회전하는 각도를 준다. 평행이동은 열벡터 표기법으로 나타낸다.

삼각형의 기본 합동 조건 SSS, SAS, ASA, RHS(G5)를 적용하되, 꼭짓점을 순서대로 대응시킴; AAA는 합동이 아닌 닮음을 의미하며 SSA는 합동 조건이 아님. 기준점.

해설 예제: 2H 6월 2024 Q12, 수정됨. 두 삼각형이 세 쌍의 대응변이 모두 같음 대응 변. 일명 합동 이유: SSS.

각의 사실, 삼각형 합동, 음 및 사변형 성질을 활용하여 추측하고 결과를 도출함. 피타고라스 정리와 이등변삼각형의 밑각의 등립 등을 포함하며, 알려진 결과를 사용하여 간단한 추측하고 결과를 도출하며, 피타고라스 정리 및 등변삼각형의 밑각의 동등성을 포함하며, 알려진 결과를 사용하여 간단한 proofs (G6). For isosceles $ABC$ with $AB = AC$ and $D$ the midpoint of $BC$: triangles $ABD$ and $ACD$ agree in $AB = AC$, $BD = DC$ and shared $AD$, so SSS gives congruence and matching base angles $ABC = BCA$; the two angles at $D$ are equal and sum to $180^\circ$, so each is $90^\circ$. Pythagoras follows from four 원의 정의와 성질 식별 및 적용 (G$a + b$): 중심, 반지름, 현, $(a+b)^2 = 4 \cdot \tfrac{ab}2 + c^2$, hence $a^2 + b^2 = c^2$.

Identify and apply circle definitions and properties (G9): centre, radius, chord, diameter ($d = 2r$), circumference, with additional foundation adding tangent, arc, sector and segment — a sector is bounded by two radii and an arc; a segment lies between a chord and an arc. The perpendicular from the centre to a 현이 이를 이등분한다: 반지름 5인 원의 중심으로부터 거리 3 cm인 현의 길이는 $2\sqrt{5^2 - 3^2} = 8$ cm이다.

해설 예제: 2H 6월 2024 Q1, 수정됨. 그림자 부분의 각 영역 이름을 arcs(호), 두 반지름과 그 호 사이에 있는 파이)slice) 모양의 영역은 부이다. segment; the pie-slice between two radii and their arc is the sector.

Higher (G10) applies and PROVES the standard circle theorems: the angle at the centre is twice the angle at the circumference on the same arc (prove with two isosceles triangles on equal radii: $\angle AOB = 360^\circ - (180^\circ - 2\alpha) - (180^\circ - 2\beta) = 2(\alpha + \beta)$); the angle in a semicircle is $90^\circ$; angles in the same segment are equal; opposite angles of a cyclic quadrilateral sum $180^\circ$에 접하다; 임의의 점에서의 접선은 해당 지점의 반지름과 수직이다; tangents from an external point are equal (RHS on the two contact triangles); the perpendicular from the centre to a chord bisects it; and the alternate segment theorem — 도형 내 각도를 포함하는 지도 및 축도 해석 및 angle of $35^\circ$ gives $35^\circ$ in that segment).

해설 예제: 1H 6월 2024 Q22, 수정됨. 두 직선이 $P$에서 접하며 반사각을 이룹니다. 같은 호에 대한 원주각은 그 중심각의 절반입니다: $A$과 $B$에서 접합니다. ∠$APB = 24^\circ$를 그립니다. 선분 $AO$와 $BO$를 그리면 사변형 $OAPB$는 두 개의 $90^\circ$ 접각을 가지므로, 중심각은 $\angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 24^\circ = 156^\circ$ (예각, 반사각이 아님). 같은 호 위의 원주각은 그 중심각의 절반입니다: 반사각) 같은 호에 대한 원주각은 중심각의 절반입니다: $x = \tfrac{156^\circ}{2} = 78^\circ$(채점 기준의 $2x = 156^\circ$).

표준 단위의 측정 및 관련 개념 활용 (G14). 정육면체, 직사각주체, 원주, 원통, 각기둥, 사뿔, 원뿔 정육면체, 직육면체, 기둥, 원기둥, 뾰족한 꼭짓점을 가진 다면체, 원뿔 및 구의 면, 모서리 및 꼭짓점 and spheres (G12); interpret — and at Higher construct — plans and elevations of 3D shapes (G13): for a $4 \times 3 \times 2$ cuboid the plan is $4 \times 3$, the 정면 정면도가 $4 \times 2$, 측면 정면도가 $3 \times 2$입니다. 기하학적 도형의 선분과 각도를 측정하여 지도와 축도 도면을 해석하고 and angles in geometric figures, including interpreting maps and scale drawings and use of bearing (G15): three-figure bearings measured clockwise from north — east $090^\circ$, and the reverse of $070^\circ$ is $070^\circ + 180^\circ = 250^\circ$; on a 1 : 10000 map, 3 cm represents 300 m.

삼각형($\tfrac12 b \times$ 높이)의 면적 공식과 평행사변형 및 사다리꼴의 면적, 직사육면체 및 기타 직원주체의 부피를 알고 적용합니다. including cylinders (G16): a trapezium with parallel sides 6 and 10 and height 4 has area $\tfrac12(6+10) \times 4 = 32$ cm²; a triangular prism with end area 12 cm² and length 10 cm has volume 120 cm³. Know the circle formulae (G17): $C = 2\pi r = \pi d$, $A = \pi r^2$; a radius-4 circle has circumference $8\pi$ 반지름이 $16\pi$과 $8\pi$인 동그라미(annulus)의 면적은 $4\pi + 8$입니다. 추가 an annulus with radii 5 and 3 has area $\pi(25 - 9) = 16\pi$. Additional 기초: 구, 피라미드, 원뿔 및 합성 입체의 표면적과 부피 solids, incl. frustum — a cone with $r = 3$, $h = 4$ has slant 5, volume $12\pi$, curved area $15\pi$ and total $24\pi$; a sphere with $r = 3$ has volume $36\pi$ and surface $36\pi$; a frustum from a $6,8$-cone (slant 10) minus a similar $3,4$-cone (slant 5) has volume $96\pi - 12\pi = 84\pi$. Solutions in $\pi$에 대한 식으로 요구될 수 있습니다.

호 길이, 각도 및 부채꼴 면적 계산 (G18, 추가 기초): $r = 6$과 $\theta = 120^\circ$에서 분율은 $\tfrac13$이므로 호 길이는 $4\pi$이며 부채꼴 면적은 $12\pi$입니다; 반지름 6이고 면적 $9\pi$인 부채꼴은 분율 $\tfrac14$이므로 $\theta = 90^\circ$입니다.

해설 예제: 1H 6월 2024 Q12, 수정됨. 반지름이 12cm인 섹터의 각도는 $60^\circ$: 호 $= \tfrac{60}{360} \times 2 \times 12 \times \pi = 4\pi$ cm — 확인하기 위해 전체 원의 양과 곱하기 전의 분율을 먼저 구하세요.

동형과 유사성을 적용하여, 길이, 면적 및 부피 사이의 관계를 포함합니다. areas and volumes in similar figures (G19; Higher): the $k : k^2 : k^3$ ladder with scale factor $k$.

해설 예시: 2H 6월 2024 Q25, 수정. 다음을 증명하십시오. edge ratio $a : b : c : d = 3 : 4 : 5 : 12$ and volume 1125 cm³. Write the edges as $3k, 4k, 5k, 12k$: volume $= \tfrac12(3k)(4k)(12k) = 72k^3 = 1125$, so $k^3 = 15.625$ and $k = 2.5$. Total edge length $= 2(3+4+5)k + 3 \times 12k = 60k = 150$ cm (two of each cross-section edge, three length edges).

*오목한 원추(테이퍼) = 전체 원추 − 작은 원추; 작은 원추의 높이는 절반이므로 부피는 ⅛

*4 × 3 × 2 직육면체: 각 도면은 세 가지 크기 중 두 가지를 보여줌

*방위각은 북방에서 시계 방향으로 측정함: A에서 070°이므로, B에서의 역방위각은 070° + 180° = 250°

피타고라스 정리 $a^2 + b^2 = c^2$와 삼각비 (G20)를 알고 — $\sin\theta = \tfrac{\text{opposite}}{\textbf{hypotenuse}}$, $\cos\theta = \tfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$, $\tan\theta = \tfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$ — 이를 적용하여 구하기 2D 도형의 직각삼각형에서 각도와 길이를 구함; 고등 과정에서는 (가능하면 일반삼각형 법칙도 포함하여) 2D 및 3D에서 적용함. 3-4-5 사다리 발을 3 m 떨어진 곳에 두고 높이는 $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ m임. 3D에서 직각삼각형을 분리하여: a $3 \times 4 \times 12$ 직육면체는 바닥면 대각선이 $\sqrt{9+16} = 5$이고, 공간대각선이 diagonal $\sqrt{25 + 144} = 13$, and the space diagonal meets the base at $\tan\alpha = \tfrac{12}{5}$, 따라서 $\alpha \approx 67.4^\circ$입니다.

해설 예시: 하위 과정. 2, 2024, 18: 반지름은 23.7이며, $x$은 표시된 각의 인접변입니다. $52^\circ$: $\cos 52^\circ = \tfrac{x}{23.7}$ (사인의 법칙 변형식 $\tfrac{x}{\sin 38^\circ} = \tfrac{23.7}{\sin 90^\circ}$도 사용 가능하므로, $x = 23.7 \cos 52^\circ = 14.6$ (1 소수점 이하 자릿수).

$\sin\theta$와 $\cos\theta$에 대한 정확한 값을 기억합니다. $\theta = 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ 및 $\tan\theta$에 대해 $0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ (G21, 추가 기초) — 이를 도출합니다. from the bisected equilateral triangle ($1, \sqrt3, 2$) and the right isosceles triangle ($1, 1, \sqrt2$): $\sin 30^\circ = \tfrac12$, $\cos 30^\circ = \tfrac{\sqrt3}{2}$, $\tan 30^\circ = \tfrac1{\sqrt3}$, $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \tfrac{\sqrt2}{2}$, $\tan 60^\circ = \sqrt3$; $\tan 90^\circ$ 입니다. 정의되지 않습니다.

해설 예제: 1H 6월 2024 Q25, 수정됨. 다음을 증명하십시오. $6\sin 30^\circ + 2\cos 30^\circ \times 4\tan 30^\circ$은 정수입니다: $6 \times \tfrac12 + \sqrt3 \times \tfrac4{\sqrt3} = 3 + 4 = 7$ — 루트항들이 상쇄됩니다. 어떤 반올림 전에도.

Higher knows and applies the sine rule $\tfrac{a}{\sin A} = \tfrac{b}{\sin B} = \tfrac{c}{\sin C}$ and the cosine rule $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ (G22), and the area formula $A = \tfrac12 ab\sin C$ with the included angle between $a$ and $b$ (G23). Sides 6 and 8 enclosing $60^\circ$ give $c^2 = 36 + 64 - 96 \times \tfrac12 = 52$ so $c = 2\sqrt{13}$, and area $\tfrac12 \times 6 \times 8 \times \tfrac{\sqrt3}{2} = 12\sqrt3$. Sine rule: with $a = 4$ opposite $A = 30^\circ$ 그리고 $B = 45^\circ$, $b = \tfrac{4\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = 4\sqrt2$. 한 역사인함수(inverse sine)는 예각과 그 보각을 줄 수 있으므로 — 각도를 확인해야 합니다. 선택하기 전에 합을 먼저 확인하십시오.

해설 예제: 하이어 tier. $a = 7$, $b = 10$, $A = 40^\circ$: $\sin B = \tfrac{10 \sin 40^\circ}{7} = 0.918$, 따라서 $B = 66.7^\circ$ 또는 $113.3^\circ$ — 계산기는 예각만 표시합니다. 두 경우 모두 삼각형의 내각의 합을 유지하여 유효한 값($C = 73.3^\circ$ 또는 $26.7^\circ$)이므로, 주어진 조건에 맞는 삼각형이 TWO개 존재하며 ambiguous answer must be given. Ambiguity can only arise when the given opposite side is the SHORTER one ($a < b$) and $A$ is acute — a bigger side faces a bigger angle, so $a \geq b$ forces $B \leq A$ and kills the supplement; a ten-second sketch settles it before any arithmetic.

이동을 2D 벡터(G24)로 서술함 — 열 표기법, 상단 항목 수평. 벡터의 덧셈과 뺄셈, 스칼라 곱하기 적용, 그림 및 열 표현(G25): $\mathbf a = (4,1)$과 $\mathbf b = (1,3)$, $\mathbf a + \mathbf b = (5,4)$ 및 $2\mathbf a - \mathbf b = (7,-1)$; from $A = (1,2)$ to $B = (5,5)$, $\overrightarrow{AB} = (4,3)$ 포함 좌표축에서의 기하학적 문제 해결 (G5): 수평/수직 길이 scalar multiple $\overrightarrow{MN} = \tfrac12\overrightarrow{AB}$ proves $MN$ parallel to $AB$ and half its length (midpoints average position vectors); collinear points need a scalar-multiple relation AND a shared point.

해설 예제: 2H 6월 2024 Q23, 수정됨. $\overrightarrow{CD} = 6\mathbf a + \mathbf b$, $\overrightarrow{CE} = 14\mathbf a - 3\mathbf b$ 및 $\overrightarrow{CF} = 16\mathbf a - 4\mathbf b$가 주어질 때: 변위 $\overrightarrow{DE} = (14\mathbf a - 3\mathbf b) - (6\mathbf a + \mathbf b) = 8\mathbf a - 4\mathbf b$이며, $\overrightarrow{EF} = (16\mathbf a - 4\mathbf b) - (14\mathbf a - 3\mathbf b) = 2\mathbf a - \mathbf b$입니다. 따라서 $\overrightarrow{DE} = 4\,\overrightarrow{EF}$ — 공통점 $E$를 공유하는 평행선이므로 $DEF$는 직선입니다.

Solve geometrical problems on coordinate axes (G11): horizontal/vertical lengths 좌표를 빼고, 피타고라스 정리를 이용해 대각선을 구하며, 평균을 취해 중점을 계산하는 — $A(1,2)$, $B(5,2)$, $C(5,5)$, $D(1,5)$는 $AB = 4$, $BC = 3$, 대각선 $AC = 5$를 가진다. 공통된 중점에서 만나는 대각선 $(3, 3.5)$: 직사각형이다.

• 전통적 용어 및 표기법; 삼각형 명명법; 서술된 도식도 작성 (G1).
• Ruler and compass constructions incl. $60^\circ$; loci problems; shortest distance (G2).
• 점/직선/대각선에서의 각 관련 사실; Reasons가 포함된 교차각 및 대응각; 다각형 내각의 합 유도 (G3).
• 사각형 및 삼각형 성질 유도 및 적용 (G4); 합동 조건 SSS, SAS, ASA, RHS (G5; Q12 기준점); 피타고라스 정리 및 이등변삼각형 밑각 등 추론-유도-증명 연쇄 과정 포함 (G6).
• 변환 포함; 분수 및 음수 확대비; 조합에 따른 변화와 불변성 (G7–G8).
• 원의 부분 명칭 지정 (G9; Q1 기준점); 원의 정리 적용 및 증명 (고등학교 수준) (G10; Q22 기준점).
• 좌표평면 기하학 (G11); 입체의 면/모서리/꼭지점 (G12); 상·단면도 (G13); 단위 (G14); 지도, 축도, 방위각 (G15).
• 면적 및 원추/원통 부피 (G16); 원의 측정, 구, 원뿔, 각주사 및 단면체, 정확한 $\pi$ 값 (G17); 호 및 섹터 (G18; Q12 기준점); $k : k^2 : k^3$ 사다리 (G19; Q25 기준점).
• 사인 법칙 및 모호한 경우: 대변이 짧은 경우 두 각 구하기; 먼저 스케치 (G22, H).
• 피타고라스 정리 및 삼각비 in 2D 및 3D (G20; Q18 기준점); 정확한 삼각함수 값 (G21; Q25 기준점); 사인 법칙 및 코사인 법칙 (G22); $\tfrac12 ab \sin C$ (G23).
• 평행이동을 벡터로 표현; 벡터 연산; 정렬성 포함 기하학적 증명 (G24–G25; Q23 기준점).

경계 안내문: 제공되는 공식집에는 사다리꼴 면적, 원추, 부피, 원의 둘레/면적, 피타고라스 정리, 세 가지 삼각비, 사인 및 코사인 법칙 및 $\tfrac12 ab\sin C$ — 호/섹터 공식은 포함되지 않음, 원뿔/각주사/구 부피, 정확한 삼각함수 값 또는 원의 정리는 외워야 함. 각에 대한 이유는 정리명을 명시해야 하며, 글자 모양을 사용해서는 안 됨.worked 예제는 6월 2024 고등 시험지(메타 평가 증거 참조)에서 발췌하여 수정됨 또는 원본.