S · Moments

AQA A-level 수학 7357, 섹션 S(모멘트), 버전 1.3(최초 평가 2018). 원본 교육 자료입니다.

선행 지식: 섹션 R의 힘과 뉴턴의 법칙.

These are original teaching examples, not official AQA material.

질문

• 짧은 스패너로는 움직일 수 없는 조여진 너트를, 동일한 힘으로 긴 스패너가 풀었다. 이 추가적인 회전 효과는 어디에서 오는가?
• 읽기 전에 힘의 회전 효과(모멘트)가 무엇에 의존하는지, 그리고 손잡이 길이를 두 배로 늘리면 회전 효과가 두 배가 되는 이유를 말하세요.

방법론

• 한 점에 대한 힘의 모멘트는 힘과 그 점으로부터 힘의 작용선까지의 수직 거리를 곱한 값(N m)이다. 그 점을 지나는 힘은 거리가 0이므로 모멘트도 0이며, 그 점 주위로 물체를 회전시킬 수 없다.
• 물체가 평형 상태가 되려면 다음 두 가지 조건이 모두 충족되어야 한다: 힘들의 합이 0인 것(이동 없음) AND 모든 점에 대한 모멘트의 합이 0인 것(회전 없음). 미지수의 회전축을 중심으로 모멘트를 취하면, 그 힘의 거리가 0이 되어 식에서 사라지므로—one equation, one unknown—한 개의 식으로 하나의 미지수를 구할 수 있다.
• 모멘트: 힘 × 힘의 작용선으로부터 점까지의 수직 거리 (단위: N m); 평형: 합력이 0이고 합모멘트가 0인 상태이므로 이동과 회전이 없음; 회전축: 모멘트를 취하거나 물체가 회전하는 기준점이 되는 점.

작업 검증

• 가장 불편한 미지수가 지나는 점을 선택하여 모멘트를 취하십시오. 두 지지대 위의 빔에서는 한 지지대를 중심으로 모멘트를 취해 다른 지지대의 반력을 구한 뒤, ΣF = 0를 사용하여 첫 번째 반력을 구합니다.
• 거리는 힘이 그려진 위치가 아니라 힘의 작용선까지 측정합니다: 3 m 막대에 대해 40° 각도로 작용하는 힘의 수직 거리는 3 m가 아니라 3 sin 40°입니다.

풀이된 사례

• 주어짐: 끝 A와 B에 지지대를 두고 있는 가벼운 4 m 빔에, A로부터 1 m 떨어진 곳에 260 N 하중이 놓여 있음. A를 중심으로 한 모멘트: R_B × 4 = 260 × 1, 따라서 R_B = 65 N. 수직 힘: R_A + R_B = 260, 따라서 R_A = 195 N. 검증: R_A + R_B = 260 ✓ 및 B를 중심으로 한 모멘트 (195 × 4 = 260 × 3 = 780 ✓) 모두 성립함.

예시:

길이가 6 m인 균일한 판의 무게가 200 N으로 양쪽 끝 지지대 위에 놓여 있고, 400 N 상자가 한쪽 끝에서 2 m 떨어진 곳에 놓여 있습니다. 두 반력(반응력)을 구하세요. 동일한 순서를 따르되: 한 지지대에 대한 모멘트 → ΣF = 0 → 다른 지지대에 대해 검증합니다. (정답: 가까운 지지대에 대한 모멘트를 이용하면 6R_far = 400 × 2 + 200 × 3 = 1,400이므로, R_far ≈ 233 N이고, R_near = 600 − 233 ≈ 367 N입니다.)

한계 및 함정

• 첫 번째 방정식의 부호 실수를 확인하기 위해 다른 한 점에 대해 모멘트를 취하십시오. 두 지지점에서의 반력 모두 양수로 나와야 합니다. 음수의 반력은 빔이 해당 지지점에서 떠오르게 되어 모델이 변함을 의미합니다.

경고:

Zero resultant force is enough for equilibrium. This claim is false: two equal opposite forces at different points (a couple) give zero resultant force but still spin the body. Equilibrium needs zero resultant moment as well — that is why the spanner's length matters even when the push is unchanged.

핵심:

모멘트: 모멘트 = 힘 × 수직 거리 (N m); 평형을 위해서는 ΣF = 0 AND ΣM = 0가 필요함; 미지수를 제거하기 위해 미지수의 중심을 중심으로 모멘트를 취하고, 두 번째 점에서 다시 모멘트를 취하여 검증함.