N · Statistical distributions

AQA A-level 수학 7357, N장(통계 분포), 버전 1.3(최초 평가 2018). 원본 교육 자료.

선행 지식: M부 확률.

These are original teaching examples, not official AQA material.

질문

• 한 기계가 병에 500 ml 주변에 약간의 산란을 두고 채우는 반면, 기계 검수는 항상 정수입니다. 하나의 모델은 매끄러운 곡선 아랫면을 사용하며, 다른 하나는 이산 확률을 세는 방식입니다. 각각 어떤 경우에 맞습니까?
• Before reading on, say what makes a count binomial, and what a continuous model needs.

방법론

• 이항 분포는 고정된 n, 독립 시도, 두 가지 결과, 일정 p가 필요합니다: P(X = k) = C(n,k) pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ, E(X) = np, Var(X) = np(1 − p)입니다. 기대값은 확률 가중 평균입니다.
• 연속 양은 밀도 곡선을 따르며, 확률은 면적이며 P(X = x) = 0 (모든 정확한 값에 대해). 정규 분포는 z = (x − μ)/σ로 표준화하여 꼬리 확률을 읽는다. 포아송 모델은 일정한 비율로 사건을 세며, 평균과 분산이 같다.
• 이항 분포: n개의 독립적인 2중 결과 시도로 이루어진 성공의 개수이며, 일정 확률 p를 가집니다; 기댓값: 무작변량의 확률 가중 평균; 정규 분포: 연속 양에 대한 대칭적인 종 모양 모델이며, z = (x − μ)/σ로 표준화됩니다.

작업 검증

• 공식을 사용하기 전에 이항 조건을 확인하십시오: 부추출은 시도를 종속적으로 만들고 p를 변경하여 모델을 실패시니다. 모든 세기가 이항 분포가 아닙니다.
• 연속 변수에서는 P(X = 정확히 130)를 절대 묻지 마십시오: 꼬리 또는 구간을 계산하십시오. 사건의 범위를 먼저 명시하고, 채워진 영역을 먼저 그려주십시오.

풀이된 사례

• Known: X ~ binomial(5, 0.2). P(X = 0) = 0.8⁵ = 0.32768. E(X) = np = 1 and Var(X) = np(1 − p) = 0.8. For a normal quantity with μ = 100, σ = 15, the value 130 has z = (130 − 100)/15 = 2, so it lies two standard deviations above the mean.

예시:

X ~ binomial(5, 0.2)일 때, 동일한 순서(모델 선택 → 공식 → 대입)를 사용하여 P(X = 1)를 구하십시오. (정답: P(X = 1) = C(5,1) × 0.2 × 0.8⁴ = 5 × 0.2 × 0.4096 = 0.4096.)

한계 및 함정

• 이항 분포의 모멘트는 네 가지 조건이 모두 충족될 때만 성립합니다. 정규 모델은 대략 대칭적인 데이터를 필요로 하며, 이산 분포를 정규 분포로 근사할 때는 연속성 보정이 중요합니다.

경고:

모든 성공의 세기는 종속성과 무관하게 이항 분포를 가집니다. 이 주장은 틀렸습니다: 모델은 일정 p를 가진 독립적 시도가 필요하며, 부추출이나 변하는 성공률은 이를 깨뜨리므로 공식은 허위 정밀도를 보고할 것입니다.

핵심:

Statistical distributions: binomial for fixed-n independent counts (E = np, Var = np(1 − p)); normal for continuous quantities via z = (x − μ)/σ; probabilities are areas for continuous models and exact terms for discrete ones.