범위 및 전제 조건
ACT 프레임워크, 2월 2026 개정판. 여기서의 교실 사례는 공식 ACT 형식이 아니다.
- 과제를 위한 동등한 전개형, 인수분해형 또는 꼭짓점 형태를 선택하십시오
- 구조를 활용하여 일차 방정식과 다항방정식을 푼다
- 근뿐만 아니라 부호를 기반으로 이차 부등식의 영역을 결정한다
선행 지식: 항을 묶어 정리; 순서쌍 대입; 부호 있는 산술 계산
방법 설명 및 선택
변형하기 전에 관계식을 식으로 변환하십시오. 고정비와 단위당 요금이 포함된 것은 선형 모델이며, 차원의 곱은 이차 함수를 만들 수 있습니다. 등가 형태는 원래 식의 정의역에서 동일한 값을 가져야 합니다. 모든 곱을 전개하기 전에 공통인수를因数분해하고 항등식을 인지하십시오.
간소화 후 일차 방정식은 하나, 없음, 혹은 무한히 많은 해를 가질 수 있으므로, 나누기 전에 영계수를 확인하십시오. 부등식에 음수를 곱하거나 나누면 부등호 방향이 바뀝니다. 다항곱이 0이 되려면 적어도 하나의 인수가 0이어야 합니다. 영근을 잃지 않도록 추출된 x를 포함한 모든 인수를 유지하십시오.
이차식의 인수분해 형태는 근을 드러내며, 꼭짓점 형태(顶点式)는 극값을 나타냅니다. 부등식의 경우 실근의 크기를 비교하고 각 구간에서 부호를 확인하십시오. 등호 포함(≤ 또는 ≥)인 경우에만 경계를 포함합니다. 위쪽으로 볼록한 포물선(抛物线)은 서로 다른 두 실근 사이에서 음수이고, 그 밖에서는 양수입니다.
후보 값을 확인하기 위해 원래 관계에 대입하십시오. 확장된 계수 문제는 동일한 차수에 여러 기여분을 결합할 필요가 있을 수 있습니다. 3차 다항식은 반드시 일반 삼차방정식 공식을 필요하지는 않습니다: 공통인수나 알려진 근호를 사용하면 더 간단한 인수로 줄일 수 있습니다. 구조에 따라 방법을 선택하십시오.
항등식은 모든 허용 가능한 입력에 대해 성립합니다. 시작점은 $ax+b=cx+d$입니다. 항을 정리하다: $(a-c)x=d-b$. 나누기 전에 $a-c$을 확인한다. $a=c$이고 $b=d$이면 모든 실수 입력이 유효하다. 오직 $a=c$인 경우, 어떤 입력도 유효하지 않다. 그 외에는 $x=(d-b)/(a-c)$이 하나의 해를 제공한다.
풀이 예제. x²-5x+6=(x-2)(x-3)이므로, x²-5x+6<0는 2<x<3을 준다. x³-4x=x(x-2)(x+2)이므로, 근은 -2,0,2이다. 식 2(x-3)²+5은 x=3에서 최소값 5을 갖는다. (2x+1)(x-4)에서 x의 계수는 -8+1=-7이다.
연습 자료
아래 각 연습 문제에서는 필요한 모든 데이터를 명시하고 있습니다.
추론 연습
연습 1
$x^3-9x=0$과 $(x+2)(x-5)\ge0$를 풀라. 초기에 삼차식을 $x$로 나누면 왜 한 해가 사라지는지 설명하라.
추론. $x(x-3)(x+3)=0$을 인수분해하여 $-3,0,3$을 얻습니다. $x$로 부당하게 나누면 허용된 영근호를 제거합니다. 부등식에 대해 근호는 $-2,5$입니다. 근호 바깥쪽에서 은 양수 이상이며, 경계점을 포함하므로 $x\le-2$ 또는 $x\ge5$입니다.
연습 2
$2x^2-12x+23$을 꼭짓점 형태로 써서 최솟값을 구하라. $(2x-3)(x+4)$에서 $x$의 계수를 구하라.
추론. 제곱완성법은 $2(x-3)^2+5$을 주며, x=$x=3$에서 최소값 5을 줍니다. 곱의 전개는 $2x^2+5x-12$이므로, 계수는 5입니다.
연습 3
인쇄소는 작업 준비비로 25원을, 페이지당 0.40원을 받는다. $n$페이지의 총 비용식을 세우고, 65원 예산 부등식을 정수 페이지 수에 대해 풀어라. 변이 $x$m과 $x+3$m인 직사각형의 면적 식과 비교하라.
추론. $C=f+pn=25\,\mathrm{yuan}+(0.40\,\mathrm{yuan/page})(n\,\mathrm{pages})$. 예산 $25+0.40n\le65$는 $0\le n\le100$를 제공하며, 정수 $n$가 포함된다. 요금은 $n$에 대해 선형 affine이다. 사각형의 면적은 미터 단위의 수치 길이에 대해 $A=x(x+3)=x^2+3x$ 제곱미터이며, $x>0$입니다; 두 변수 길이의 곱셈은 고정된 수수료 plus rate 费率가 아닌 2차 함수를 생성한다.
한계 및 향후 활용법
인수 분해 시 추출한 인수를 누락하거나, 엄밀 부등식의 경계를 포함하거나, 최소값을 묻는 질문에 꼭짓점의 x좌표를 보고하지 마십시오.
이것들은 이 과정을 위해 작성된 원본 연습 문제이지 공식 시험 문제가 아닙니다.