범위 및 전제 조건
ACT 프레임워크, 2월 2026 개정판. 여기서의 교실 사례는 공식 ACT 형식이 아니다.
- 벡터의 성분을 각각 더하고 스케일링하십시오
- 일치하는 차원을 가진 행렬과 벡터를 곱하십시오
- 정량 모델의 항목과 단위를 해석함
전제 조건: 순서쌍; 피타고라스 정리; 곱셈 및 덧셈.
방법 설명 및 선택
2차원 벡터는 순서쌍 변위나 다른 쌍 quantity를 기록합니다. 해당 성분을 더하고 scalar로 두 배하십시오. A에서 B로의 벡터는 B-A이며 A-B가 아닙니다. 그 magnitude는 유클리드 좌표 평면에서 √(u²+v²)입니다; 방향과 크기는 서로 다른 정보입니다.
행렬은 항목을 행과 열로 구성한다. 같은 모양의 행렬끼리만 항목별로 더한다. 곱셈의 경우 첫 번째 인자의 열 개수가 두 번째 인자의 행 개수와 같아야 한다. ⟨2⟩×3 행렬에 ⟨3⟩×1 벡터를 곱하면 ⟨2⟩×1 결과가 나온다: 각 출력은 한 행의 내적과 벡터의 결과이다.
순서가 중요합니다: 행렬 곱셈은 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않습니다. A times B가 정의되면, B times A는 정의되지 않거나 다른 결과를 생성할 수 있습니다. 동일한 품목 순서로 품목 개수를 나타내는 행과 단가를 나타내는 열이 있다면, 내적은 총비용을 제공합니다. 불일치하는 품목 순서는 수치적으로는 깔끔하지만 무의미한 결과를 산출합니다.
계산하기 전에 각 구성 요소와 단위를 표시하십시오. 변위 벡터는 거리 단위를 사용하지만, 행렬 항목은 개수, 비용 또는 비율일 수 있습니다. 곱셈 후 출력의 단위를 해석하십시오. ACT 문제는 연산 정의를 제공할 수 있습니다: 낯선 기호가 항상 보통 곱셈을 의미한다고 가정하지 말고 해당 정의를 따르십시오.
행렬은 레이블이 붙은 행과 열을 사용합니다. 수량 행 $(2,3)$과 가격 열 $(4,5)^T$이 비용 $2(4)+3(5)=23$을 산출합니다. 행렬 곱셈이 존재하기 전에는 내부 차원이 일치해야 합니다. $A$에서 $B$로 가는 변위 벡터는 $B-A$입니다.
풀이 예시. 변위 (3,4)와 (-1,2)의 합은 (2,6)입니다. 첫 번째의 크기는 5입니다. 두 개의 쇼핑 행 (2,1)과 (1,3), 가격 (4,5)은 비용 $2\times4+1\times5=13$과 $1\times4+3\times5=19$을 줍니다. 행렬 [[2,1],[1,3]]에 열 [4,5]을 곱하면 열 [13,19]이 됩니다. 항목들은 개수에 품목당 가격을 한 것입니다.
연습 자료
아래 각 연습 문제에서는 필요한 모든 데이터를 명시하고 있습니다.
추론 연습
연습 1
m 단위로 된 점 A와 B는 각각 $(1,-2)$과 $(7,6)$입니다. A에서 B로의 변위와 그 크기를 구한 뒤, B에 변위 $(-3,2)$ m를 더했을 때의 끝점을 구하십시오.
추론. $\overrightarrow{AB}=B-A=(6,8)\,\mathrm{m}$. 크기 $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{6^2+8^2}\,\mathrm{m}=10\,\mathrm{m}$. 새로운 끝점 $B+(-3,2)=(4,8)$ 미터. 방향은 반대로 되어서는 안 됩니다.
연습 2
가게의 두 건의 주문은 연필과 노트에 대한 수량 행 $(3,2)$과 $(1,4)$입니다. 가격은 각각 2과 7 위안입니다. 행렬 곱과 두 주문의 비용을 제시하십시오.
추론. $Q=\begin{pmatrix}3&2\\1&4\end{pmatrix}$, $p=\begin{pmatrix}2\\7\end{pmatrix}$ 위안/품목. $Qp=\begin{pmatrix}3(2)+2(7)\\1(2)+4(7)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}20\\30\end{pmatrix}$ 위안. 품목 순서는 가격 순서와 일치해야 합니다.
연습 3
A는 ⟨2, 3⟩이고 B는 ⟨3, 4⟩입니다. AB의 크기와 BA가 정의되는지 설명하십시오.
추론. AB는 일치하는 내부 치수 3과 외부 치수 2 × 4를 가집니다. BA는 4=2를 필요하므로 정의되지 않습니다. 곱의 순서를 뒤바꾸는 것은EUR harmless가 아닙니다.
한계 및 향후 활용법
행/열의 형태와 품목의 순서를 명확하게 유지하십시오. 벡터의 크기는 성분의 합이 아닙니다.
이것들은 이 과정을 위해 작성된 원본 연습 문제이지 공식 시험 문제가 아닙니다.