범위 및 전제 조건
ACT 프레임워크, 2월 2026 개정판. 여기서의 교실 사례는 공식 ACT 형식이 아니다.
- 표시된 데이터 표현에서 중심, 산포도 및 형태를 읽으십시오
- 평균과 표준편차를 사용하여 정규 모델 해석하기
- 두 변수의 상관관계와 인과 증거 구분하기
선행 지식: 순서 데이터; 빈도; 평균 및 중앙값.
방법 설명 및 선택
평균은 모든 관측치에 가중치를 부여하고, 중앙값은 순서 정렬된 중간값을 사용합니다. 히스토그램은 수치 값을 구간으로 묶고, 박스 플롯은 사분위수를 표시하며, 막대 차트는 범주를 비교합니다. 겉보기 너비나 높이를 비교하기 전에 단위, 척도 및 빈도를 확인하십시오. 계산이 필요한 경우 과제의 명시된 사분위수 규정을 사용하십시오.
상수 추가는 평균과 중앙값을 이동시키지만 표준편차는 그대로 니다. 값을 양의 인수로 곱하면 중심과 산포도가 모두 scaled됩니다. 정규 모델에서 평균은 대칭 중심에 위치하며, 약 68%는 표준편차 1개 범위 내에, 95%는 표준편차 2개 범위 내에 있습니다. 이러한 근사치는 특정 정규 모델에 대한 것이며, 모든 모호하게 대칭적인 데이터셋에 적용되는 것이 아닙니다.
산점도는 정량적 측정값을 짓습니다. 적합된 직선은 반응 변수를 예측하며, 잔차는 관측값 minus 예측값입니다. 이차원 표는 범주와 조건부 비율을 비교하는 데 사용됩니다. 경향성은 인과관계는 증명하지 못하지만 상관관계를 나타낼 수 있으며, 이는 다른 변수나 선택 편차가 관계의 원인이 될 수 있기 때문입니다.
비공식적인 적합된 직선은 모든 점을 잇는 것이 아니라 주요 추세를 따르야 합니다. 방향, 형태, 이상점을 설명하십시오. 관측 범위 내의 보간은 외곽의 외삽보다 근거가 확실합니다. 그래프의 축 스케일이 변화하면 불변한 관계가 더 강하거나 약하게 보일 수 있으므로 실제 좌표와 축을 읽으십시오.
빈도는 반복된 관측 횟수를 세는 값입니다. Values 1, 3, 7 with frequencies 2, 1, 1 represent four observations: 1, 1, 3, 7. $\bar x=\sum fx/\sum f=(2(1)+1(3)+1(7))/4=3$. 중앙치는 $(1+3)/2=2$입니다. 평균과 같을 필요는 없습니다.
해설 예시. 평균이 50이고 표준편차가 5인 정규 모델 점수 분포에서 약 68%는 45와 55 사이에, 약 95%는 40와 60 사이에 있습니다. 10를 더하면 평균은 60로 이동하지만 표준편차는 5로 유지됩니다. y=2x+4에서 x=3일 때 예측된 y는 10이며, 관측값 12에 대한 잔차는 +2입니다. 이들은 가상의 교육용 모델입니다.
연습 자료
아래 각 연습 문제에서는 필요한 모든 데이터를 명시하고 있습니다.
추론 연습
연습 1
평균이 80이고 표준편차가 6인 정규 모델이 있습니다. 근사한 중앙 68% 및 95% 구간을 구하십시오. 모든 점수가 $z=2x+5$로 변경될 때 변환된 평균과 표준편차를 구하십시오.
추론. 주어진 정규 모델 하에서 약 68%는 74–86에, 95%는 68–92에 위치합니다. 변환된 평균은 $2(80)+5=165$이고 표준편차는 $2(6)=12$입니다. 이는 유한 표본에 대한 보증이 아닌 모델의 비율입니다.
연습 2
적합된 모델은 $y=4x+3$입니다. 관측값 $x=5$에서 $y=20$가 나타납니다. 예측 출력과 잔차를 구하십시오. 양의 기울기만으로 인과관계가 증명될 수 있습니까?
Reasoning. Prediction is $4(5)+3=23$. Residual $e=y_{obs}-y_{pred}=20-23=-3$. A positive slope gives association under the fit; confounding or selection can explain it without a direct cause.
연습 3
Data are 2,4,4,6,9,11,12,16. Using medians of the lower and upper halves, find the five-number summary and interquartile range. Which display preserves this summary: a box plot, a category bar chart or a scatterplot?
추론. 중位数는 $Q_2=(6+9)/2=7.5$입니다. 하단 반은 2,4,4,6으로 $Q_1=4$을 포함하고, 상단 반은 9,11,12,16으로 $Q_3=11.5$을 포함합니다. 5수 요약은 $(2,4,7.5,11.5,16)$이고 사분위범위는 $IQR=Q_3-Q_1=7.5$입니다. 박스 플롯은 이러한 값을 표시합니다. 범주 막대 차트는 범주별 빈도를 비교하며, 산점도는 쌍을 이루는 정량적 측정이 필요합니다. 어느 것도 이 단변량 5수 요약 정보를 직접적으로 표시하지 않습니다. 제시된 사분위 법칙은 다른 유효한 사분위 법칙 간의 불일치를 방지합니다.
연습 4
A hypothetical histogram has equal-width bins [0,10), [10,20), [20,30] with frequencies 2,6,2. State the proportion below 20 and whether the exact mean is determined. A scatterplot of hours and output rises with a curved trend and one high outlier: explain why a straight line joining every point is unsuitable.
추론. 20 이하에는 2+6=8개의 10관측치가 있으므로 80%입니다.vron 내의 정확한 관측치는 알 수 없으므로 정확한 평균은 도출되지 않으며, 중位数는 반드시 추정치임을 명시해야 합니다. 산점도는 쌍을 나타내며, 적합된 관계는 주요 형태를 설명하고 이상점을 고려해야 합니다. 모든 관측치를 연결하면 개별 사례 사이에 경로를 발명하고 곡선 추세를 무시하게 됩니다. 적합이나 외삽 전에 실제 축 스케일과 외발치를 점검하십시오.
한계 및 향후 활용법
정규 모델 조건 없이 정규 퍼센트를 사용하지 마십시오. 또한 산점도의 기울이를 자동적인 인과 효과로 해석하지 마십시오.
이것들은 이 과정을 위해 작성된 원본 연습 문제이지 공식 시험 문제가 아닙니다.