범위 및 전제 조건
ACT 프레임워크, 2월 2026 개정판. 여기서의 교실 사례는 공식 ACT 형식이 아니다.
- 표준 원, 타원(椭圆), 포물선(抛物线) 및 쌍곡선(双曲线)의 형식을 식별하고 해석하십시오
- 원의 중심각, 접선 및 TV割线의 관계 조건 하에 사용하십시오
- 올바른 차원과 단위를 사용하여 면적, 표면적 또는 부피를 계산함
선행 지식: 제곱 완전화; 제곱된 반축(半轴); 원 기하학; 부피 단위.
방법 설명 및 선택
원의 방정식은 (x-h)²+(y-k)²=r² 형태입니다. 타원은 두 양의 제곱항을 제곱된 반축으로 나눈 형태이며, 쌍곡선은 이러한 항의 차이를 가집니다. 포물선은 표준 정렬 형태에서 한 좌표에 대한 제곱항을 가집니다. y²=4px에서 꼭짓점은 원점이고 초점은 (p,0)입니다. 방향을 해석하기 전에 부호와 축을 확인하십시오.
(x-1)²/9+(y+2)²/4=1에 대해, 중심은 (1,-2), 수평 반축은 3, 수직 반축은 2입니다. 중심이 확장된 원의 방정식에 숨겨져 있을 때는 제곱을 완성해야 합니다. 방정식의 계수와 부호는 이차곡선의 종류를 구분하며, 대략적인 도식만으로는 누락된 대수적 정보를 제공하지 못합니다.
접선은 접촉점에서 반지름에 수직입니다. 원주각은 같은 호를 마주보는 원심각의 절반입니다. 동일한 외부점에서 나온 두 내외분선에 대해, 외부 부분 × 전체 내외분선의 곱은 서로 같습니다. 접선의 제곱은 그 곱과 같습니다. 전체 길이는 외부 부분을 포함하므로, 외부와 내부 부분만 곱해서는 안 됩니다.
경계 계수를 공간 계수와 분리하십시오. 원의 둘레는 2πr이고 면적은 πr²이며, 원기둥 부피는 πr²h입니다. 원뿔 부피는 πr²h/3이고, 구의 부피는 4πr³/3입니다. 표면적은 노출된 면을 모두 더합니다. 모든 대응 길이가 k배로 확대되면 면적은 k²배, 부피는 k³배로 변화하며, 한 차원만 변경할 때는 원래 공식을 사용해야 합니다.
타원 $(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1$의 중심은 $(h,k)$입니다. 반축은 양의 분모의 제곱근입니다. 포물선 $y^2=4px$의 초점은 $(p,0)$이고 초점선(직준선)은 $x=-p$입니다. 제곱의 차이를 가지는 쌍곡선과 이 방정식을 구별하십시오.
해설 예시. 타원 (x-1)²/9+(y+2)²/4=1의 수평 끝점은 (-2,-2)과 (4,-2)입니다. y²=8x에서 p=2이며 초점은 (2,0)입니다. 외부/전체 길이가 3/12과 4/9인 두 선분이 모두 곱 36를 가지므로, 같은 점에서引는 접선의 길이는 6입니다. 반지름 3, 높이 8인 원뿔의 부피는 24π입니다.
연습 자료
아래 각 연습 문제에서는 필요한 모든 데이터를 명시하고 있습니다.
추론 연습
연습 1
$(x+2)^2/25+(y-1)^2/9=1$에 대해 중심, 수평 및 수직 반축, 네 개의 축 끝점을 명시하십시오. $y^2=-12x$에 대해 꼭짓점과 초점을 명시하십시오.
추론. 중심은 $(-2,1)$, 반축은 5과 3, 끝점은 $(-7,1),(3,1),(-2,-2),(-2,4)$입니다. 포물선에서 $4p=-12$이므로, $p=-3$; 꼭짓점은 $(0,0)$, 초점은 $(-3,0)$입니다.
연습 2
외부 한 점에서 접선의 길이는 6cm입니다. 절선의 외부 구간은 4cm입니다. 전체 길이와 내부 길이를 구하십시오.
추론. 접선-선분 관계 $t^2=ew$을 사용합니다. $w=t^2/e=(6\,\mathrm{cm})^2/(4\,\mathrm{cm})=9\,\mathrm{cm}$를 변형합니다. 내부 길이는 $w-e=9\,\mathrm{cm}-4\,\mathrm{cm}=5\,\mathrm{cm}$입니다. 이 곱은 내부 길이뿐만 아니라 전체 길이를 포함합니다.
연습 3
반지름 3cm, 높이 8cm인 원통형 용기가 있습니다. 부피와 총 폐쇄 표면적을 구하십시오. 모든 길이가 두 배가 되면 각 값은 어떻게 변합니까?
Reasoning. $V=\pi r^2h=\pi(3\,\mathrm{cm})^2(8\,\mathrm{cm})=72\pi\,\mathrm{cm^3}$. $A=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi(3\,\mathrm{cm})^2+2\pi(3\,\mathrm{cm})(8\,\mathrm{cm})=66\pi\,\mathrm{cm^2}$. Doubling all lengths multiplies volume by 8 and area by 4.
연습 4
$x^2/16-y^2/9=1$과 $x^2+y^2=16$를 분류하십시오. 원의 둘레와 면적을 구하십시오. 같은 외부 점에서 나온 두 절선 중 하나는 외부/전체 길이가 3/12cm이고, 다른一个是 외부 길이가 4cm일 때, 전체 길이와 내부 길이를 구하십시오.
Reasoning. The difference of squared terms defines a hyperbola centred at the origin. The sum with equal coefficients defines a circle of radius 4. Its circumference is $C=2\pi r=8\pi$ and area $A=\pi r^2=16\pi$ in coordinate length and square-length units respectively. Secant products match: $e_1w_1=e_2w_2$. Thus $w_2=(3\,\mathrm{cm})(12\,\mathrm{cm})/(4\,\mathrm{cm})=9\,\mathrm{cm}$; inside length is $9-4=5\,\mathrm{cm}$. Outside times inside would apply the wrong relation.
한계 및 향후 활용법
반지름과 반축을 구하기 위해 제곱근을 취하고, 전체 직선 길이를 사용하며 부피에는 입방 단위를 적용하십시오.
이것들은 이 과정을 위해 작성된 원본 연습 문제이지 공식 시험 문제가 아닙니다.