범위 및 전제 조건
ACT 프레임워크, 2월 2026 개정판. 여기서의 교실 사례는 공식 ACT 형식이 아니다.
- 정밀 변환과 확대를 구분하며 좌표 변환하기
- 거리, 중점, 기울기를 기하학적 증거로 사용하기
- 도형의 외관보다는 유효한 합동 관계와 각의 관계를 사용하기
선행 지식: 좌표 차이; 삼각형 합동; 평행선 위의 각.
방법 설명 및 선택
평행이동은 각 점에 변위 벡터를 더합니다. x축에 대한 대칭은 (x,y)를 (x,-y)로 보냅니다. 원점을 중심으로 반시계 방향 90° 회전은 (x,y)를 (-y,x)로 보냅니다. 이러한 등거 변환은 길이와 각도를 보존합니다. 원점을 중심으로 확대 율 k에 대한 확장은 좌표와 길이를 k배로 scaling하며, 모양은 유지하지만 크기는 일반적으로 변경됩니다.
두 점 사이의 거리는 피타고라스 정리를 따릅니다: 좌표 차이의 제곱을 더하고 루트를 취합니다. 중점은 각 좌표를 평균냅니다. 기울기는 수직 변화와 수평 변화의 비율을 비교하며, 수직이 아닌 수직 선의 기울기 곱은 -1입니다. 수직선과 수평선은 영제로 나누는 문제를 피하기 위해 별도로 처리해야 합니다.
도형적 추론은 명시된 또는 표시된 조건에서 시작합니다. 대각선 각도는 같으며, 평행선은 대응각과 교차각의 관계를 제공합니다. 삼각형의 세 각의 합은 180°입니다. SSS, SAS, ASA/AAS는 적절한 대응을 통해 합동성을 증명할 수 있으며, 두 각이 같으면 비례관계(유사)는 성립하지만 크기가 같다는 의미는 아닙니다.
작업 과정의 논리는 컴퍼스를 사용하여 길이를 이전하고 같은 반지름의 호를 그립니다. 등거리 호의 교점은 수직이등분선을 locating할 수 있으나, 스케치에서 추측된 중점이 아닙니다. 좌표 증거는 증명을 보조할 수 있으나, 하나의 특정 그림은 모든 삼각형에 대한 일반적 명제를 증명하지 못합니다.
강체 운동(rigid motions)은 길이와 각도를 보존합니다. A 90-degree anticlockwise rotation sends $(x,y)$ to $(-y,x)$ about the origin. Distance is $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$. 각이 같으면 유사함을 확인하지만, 합동(congruence)은 크기까지 고정합니다.
Worked example. Point (2,-1) translated by (3,4) becomes (5,3); rotated 90° counterclockwise about the origin it becomes (1,2). Between (1,2) and (7,10), distance is √(6²+8²)=10 and midpoint (4,6). Two triangles with matching side lengths 3,4,5 are congruent by SSS; triangles with equal angles may instead differ by scale.
연습 자료
아래 각 연습 문제에서는 필요한 모든 데이터를 명시하고 있습니다.
추론 연습
연습 1
Rotate A = $(2,-3)$ by 90° anticlockwise about the origin, then translate by $(4,1)$. Reverse the order and compare endpoints.
Reasoning. Rotate first to $(3,2)$, then translate to $(7,3)$. Translate first to $(6,-2)$, then rotate to $(2,6)$. The endpoints differ, so transformation order matters.
연습 2
A = $(-1,2)$와 B = $(5,10)$는 선분의 양 끝점입니다. 이 선분의 길이, 중점 및 수직이등분선의 방정식을 구하십시오.
Reasoning. $d=\sqrt{(5+1)^2+(10-2)^2}=10$. Midpoint $M=(({-1}+5)/2,(2+10)/2)=(2,6)$. Segment slope is $8/6=4/3$, so perpendicular slope is $-3/4$. The bisector is $y-6=-(3/4)(x-2)$.
연습 3
두 삼각형의 각이 각각 40°, 60°, 80°입니다. 하나의 삼각형에서 가장 긴 변의 길이가 9 cm이고, 다른 하나는 15 cm입니다. 증명된 사실과 두 도형의 면적 비율을 나타내십시오.
Reasoning. The triangles are similar by equal angles, not congruent because corresponding longest sides differ. Length ratio is $15/9=5/3$ and larger-to-smaller area ratio is $25/9$.
연습 4
연과 자를 이용한 선분 AB의 수직이등분선 작도법을 설명하십시오. 모든 작도된 점에 대해 타당한 이유를 제시하고, 특정 도면의 측량과 구별하십시오. 또한 대응변의 길이가 3,4,5 cm인 삼각형에 대해 SSS가 무엇을 증명하는지 설명하십시오.
추론. AB의 절반보다 큰 동일한 지퍼스 compass 반지름을 사용하여 A와 B를 중심으로 한 호(arc)를 그립니다. 이 호들이 P와 Q에서 교차하며, P와 Q는 서로 다른 쪽에 위치합니다. PQ를 연결합니다. 동일한 반지름에 의해 PA=PB이고 QA=QB입니다. 따라서 P와 Q는 모두 A와 B로부터 등거리인 집합(locus) 위에 있습니다; PQ는 수직이등분선(perpendicular bisector)입니다. 또는 합동 삼각형과 공통 현(common chord)을 사용하여 수직성과 이등분을 증명할 수도 있습니다. 한 그림에서의 자 ruler 읽음은 일반적인 집합을 증명하지 않습니다. SSS는 명시된 두 삼각형을 합동으로 증명하며, 크기와 모양을 고정합니다; 피타고라스 정리 또한 해당 삼각형들이 직각삼각형임을 보여줍니다.
Practice 5
두 평행선이 한 직선에 의해 절개됩니다. 한 쌍의 대응각이 68°일 때, 이에 대응하는 다른 대응각과 두 번째 직선 위의 인접한 각을 구하십시오. 각 단계마다 주어진 조건이 이를 정당화하는 이유를 설명하십시오.
추론. 평행선에 의한 동위각은 68°입니다. 인접한 각은 직각을 이루므로, 다른 한 각은 180°−68°=112°입니다. 동일한 동위각이 성립하려면 주어진 평행선이 필수적이며, 직각의 합은 한 직선 위의 인접성을 기반으로 합니다. 평행성이 없는 유사한 도식만으로는 첫 번째 등식이 정당화되지 않습니다.
한계 및 향후 활용법
명시된 중심과 변환 순서를 따르십시오. 시각적으로 평행하거나 수직인 쌍을 조건으로 설정하지 마십시오.
이것들은 이 과정을 위해 작성된 원본 연습 문제이지 공식 시험 문제가 아닙니다.