범위 및 전제 조건
ACT 프레임워크, 2월 2026 개정판. 여기서의 교실 사례는 공식 ACT 형식이 아니다.
- 삼각함수 법칙에서 진폭(振幅), 주기 및 수직 평이동을 해석하십시오
- 단위원의 부호 및 기본 항등식 활용하기
- 일반 삼각형에 대한 사인, 코사인 또는 면적 공식 선택하기
선행 지식: 라디안; 직각삼각비; 단위원 좌표.
방법 설명 및 선택
직각삼각형에서 특정 각에 대해 sin은 대변/접선, cos은 인접변/접선, tan은 대변/인접변입니다.similar 삼각형으로 인해 이러한 비가 크기가 아닌 각도에 의존함을 알 수 있습니다. 단위원에서 좌표는 (cos θ, sin θ)이며, 적절한 부호를 통해 다른 사분면에 대한 삼각비를 확장합니다.
sin²θ+cos²θ=1이며, cos θ≠0일 때 tan θ=sin θ/cos θ입니다. y=A sin(Bx)+D(라디안 x)에서 진폭은 |A|, 주기는 2π/|B|, 기준선은 D입니다. A가 음수이면 파동이 반사되고, D가 세로 방향으로 이동시킵니다. 그래프 간격을 사용할 전 입력값이 라디안인지 도수인지 확인하십시오.
일반 삼각형에서 여현법(余弦定理) c²²=a²²+b²²-2ab cos C는 a와 b 사이의夹각 C를 사용합니다. 사인 법则是 각 변과 그 반대편 각의 사인을 비교합니다. 두 변과它们的夹각이 주어졌을 때 면적은 ab sin C/2입니다. 제공된 정보에 맞는 관계를 선택하십시오.
도형에서 직각임을 추론하지 마십시오. 사인 방정식은 허용된 구간 내에서 여러 각도를 허용할 수 있으므로, 사분면 정보와 삼각형 내각의 합 조건을 유지하십시오. 진폭은 최대-최소 거리(진폭의 두 배)와 구별해야 합니다.
진폭은 최대값과 최소값 사이의 거리 절반입니다. $y=A\sin(Bx)+D$에서는 진폭이 $|A|$이며, 라디안 주기는 $2\pi/|B|$입니다. 비직각삼각형에서余弦 정리를 선택하기 전에已知변과它们포괄각을 매칭하십시오. $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$.
*중선 y = 1 기준 진폭 3; 계수 2이 주기를 π로 만듭니다
worked example. y=3 sin(2x)+1는 진폭이 3, 주기가 π이며, 값의 범위는 -2부터 4까지입니다. 변장이 5과 7이며它们的夹角이 60°인 삼각형의 세 번째 변은 $\sqrt{25+49-70(1/2)}=\sqrt{39}$이며 면적은 35√3/4입니다. 150°에서 사인은 1/2이며 코사인 값은 -√3/2입니다.
연습 자료
아래 각 연습 문제에서는 필요한 모든 데이터를 명시하고 있습니다.
추론 연습
연습 1
라디안 입력 $y=-4\sin(2x)+3$에 대해 진폭, 주기, 값의 범위 및 $x=\pi/4$에서의 값을 구하십시오.
논리. 진폭은 4, 주기는 $2\pi/2=\pi$, 치역은 $-1\le y\le7$입니다. $x=\pi/4$에서 $y=-4\sin(\pi/2)+3=-1$입니다. 음의 계수는 파형을 반전시키지만 진폭을 음수가 하지 않습니다.
연습 2
삼각형의 변이 6cm와 10cm이고 그 사이의 각도가 60°입니다. 직각삼각형이라고 가정하지 않고 나머지 한 변과 면적을 구하십시오.
추론. $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=(6\,\mathrm{cm})^2+(10\,\mathrm{cm})^2-2(6\,\mathrm{cm})(10\,\mathrm{cm})\cos60^\circ=76\,\mathrm{cm^2}$이므로 $c=2\sqrt{19}\,\mathrm{cm}$입니다. $A=ab\sin C/2=(6\,\mathrm{cm})(10\,\mathrm{cm})\sin60^\circ/2=15\sqrt3\,\mathrm{cm^2}$입니다.
연습 3
Find every angle in $0^\circ\le\theta<360^\circ$ with $\sin\theta=1/2$. For each, give cosine and tangent.
Reasoning. Angles are 30 and 150 degrees. Cosines are $\sqrt3/2$ and $-\sqrt3/2$; tangents are $1/\sqrt3$ and $-1/\sqrt3$. Sine is positive in quadrants I and II, so one acute answer would be incomplete.
연습 4
A right triangle has legs 9 and 12 cm. Find the hypotenuse and sine/cosine of the angle opposite 9 cm. A different triangle has angles 30° and 45° and side 8 cm opposite 30°. Find the side opposite 45°, explaining why the sine rule fits.
논리. $c=\sqrt{(9\,\mathrm{cm})^2+(12\,\mathrm{cm})^2}=15\,\mathrm{cm}$. 따라서 $\sin\theta=9/15=3/5$과 $\cos\theta=12/15=4/5$; 제곱합은 1입니다. 두 번째 삼각형에서已知된 opposite 변과 각의 쌍이 있어 $b/\sin45^\circ=(8\,\mathrm{cm})/\sin30^\circ$를 허용합니다. 따라서 $b=(8\,\mathrm{cm})(\sqrt2/2)/(1/2)=8\sqrt2\,\mathrm{cm}$입니다. 이 삼각형은 직각삼각형이라 가정하지 않으며, 세 번째 각도는 105°입니다.
한계 및 향후 활용법
각의 단위를 명시하고 포개진 각을 식별하십시오. 최대값은 진폭만 아니라 중선에 진폭을 더한 값입니다.
이것들은 이 과정을 위해 작성된 원본 연습 문제이지 공식 시험 문제가 아닙니다.