범위 및 전제 조건
ACT 프레임워크, 2월 2026 개정판. 여기서의 교실 사례는 공식 ACT 형식이 아니다.
- 함수 규칙, 표 및 그래프 사이에서 평가하고 변환하기
- 함수 합성(函数复合)을 통해 입력 순서와 정의역을 추적하십시오
- 함수의 정의역을 제한하여 일대일 함수(单射)가 된 후 역함수를 구하십시오
선행 학습 내용: 함수 기호; 대입; 방정식 풀이.
방법 설명 및 선택
함수는 허용된 입력마다 하나의 출력을 제공합니다. 수직선이 서로 다른 두 출력 지점을 지나는 그래프는 x에 대한 함수가 아닙니다. 정의역은 허용된 입력을 나열하고, 치역은 도달한 출력을 나열합니다. 변수 간의 관계가 뒷받침될 때만 표를 규칙으로 변환할 수 있으며, 각 변수의 역할을 해석해야 합니다.
f(g(x))에서 안쪽 함수 g가 먼저 작동하며, 그 출력이 f의 정의역에 포함되어야 합니다. f(u)=1/(u-1)이고 g(x)=x²+1인 경우, 합성은 1/x²를 주며 x=0을 제외합니다. 정의역 검사는 원본 함수뿐만 아니라 간소화된 결과에도 해당합니다.
출력 변화 f(x)+k는 k만큼 수직 이동하며, f(x-h)는 h만큼 오른쪽으로 이동합니다. 외부 배율(외부 계수)은 출력의 규모를 변경하고, 내부 배율은 입력이 이전 지점에 도달하는 속도를 변경합니다. 방향을 부호만으로 추측하지 말고, 변환(转化)을 검증하기 위해 알려진 점을 확인하십시오.
역함수는 입력과 출력을互换하며, 선택된 정의역에서 일대일 대응이 필요합니다. y=f(x)를 x에 대해 푼 뒤, 명칭을互换합니다. 이차함수는 보통 꼭짓점 한쪽的一侧로 제한되어야 합니다. 역함수 f⁻¹은 역수 1/f가 아닙니다. 허용된 정의역에서 양방향 합성을 확인하십시오.
합성은 안쪽 규칙을 먼저 적용합니다. 만약 $f(u)=1/(u-2)$이고 $g(x)=x^2+2$이라면, $f(g(x))=1/x^2$이며, $x\ne0$입니다. 역함수는 일대일 정의역 위에서 입력과 출력을 reversal합니다. $h^{-1}(x)=1+\sqrt{x}$를 취하기 전에 $x\ge1$로 $h(x)=(x-1)^2$을 제한하십시오.
해설 예시. f(x)=2x+3이고 g(x)=x²라면 f(g(x))=2x²+3이지만, g(f(x))=(2x+3)²입니다. h(x)=(x-2)²가 x≥2로 제한되었을 때 역함수는 2+√x이며 정의역은 x≥0입니다. h를 4만큼 수직 이동하면 꼭짓점은 (2,4)입니다. 정의역이 제한되지 않은 이차함수는 단일 값 역함수를 가지지 않습니다.
연습 자료
아래 각 연습 문제에서는 필요한 모든 데이터를 명시하고 있습니다.
추론 연습
연습 1
$f(u)=1/(u-3)$과 $g(x)=x^2+3$이라 합시다. 정의역을 포함하여 $f(g(x))$를 구하십시오. $g(f(4))$를 구하고 왜 이러한 합성 함수들이 서로 다른지 설명하십시오.
추론. $f(g(x))=1/(x^2+3-3)=1/x^2$로, $x=0$을 제외합니다. 다른 순서의 경우, $f(4)=1$과 $g(1)=4$이 됩니다. 합성 순서는 연산 자체와 정의역 모두를 변경할 수 있으며, $f(g(4))=1/16$는 다릅니다.
연습 2
$h(x)=(x+2)^2$을 $x\le-2$로 제한하십시오. 정의역 및 치역을 포함하여 역함수를 구하십시오. 양의 근 분지가 틀린 이유를 설명하십시오.
추론. $x+2\le0$과 함께 $y=(x+2)^2$을 풀어 $x=-2-\sqrt y$을 얻습니다. 따라서 $h^{-1}(x)=-2-\sqrt x$, 정의역 $x\ge0$, 치역 $y\le-2$입니다. 플러스 가지는 선택된 원본 정의역 외부의 값을 반환합니다.
연습 3
$f(x)=x^2$의 그래프를 $g(x)=3f(x+4)-2$로 변경하십시오. 꼭짓점과 치역을 구하고 매핑된 한 점을 확인하십시오.
추론. $g(x)=3(x+4)^2-2$의 꼭짓점은 $(-4,-2)$이고 치역은 $y\ge-2$입니다. 기존 점 $(1,1)$은 $3(1)-2=1$이므로 $(-3,1)$로 매핑되며, 대입하여 $g(-3)=1$이 확인됩니다.
한계 및 향후 활용법
함수의 순서를 유지하고 제한된 역전지 수열을 보존하십시오. 함수 표기법에서 지수 -1은 역수를 의미하지 않습니다.
이것들은 이 과정을 위해 작성된 원본 연습 문제이지 공식 시험 문제가 아닙니다.