| English | 意味 |
|---|---|
| volume/ˈvɒljuːm/ | 体積 |
| surface area/ˈsɜːfɪs ˈeərɪə/ | 表面積 |
| cuboid/ˈkjuːbɔɪd/ | 長方形柱 |
| prism/ˈprɪzəm/ | 棱柱 |
| cylinder/ˈsɪlɪndə/ | 円柱 |
| cone/kəʊn/ | 円錐 |
| sphere/sfɪə/ | 球体 |
プールにはどのくらいの水が入るか？
- 長さ 25 m、幅 10 m、深さ 2 m のプールは $25 \times 10 \times 2 = 500\text{ m}^3 = 500\,000$ リットルを収容する。
- 体積は固体が収容できる量を示し、表面積はそれを覆う材料の量を示す。
体積スケール実験
表面積はスケール^2 に比例して増加する
長さのスケールを変化させ、体積が表面積よりも速く増加することを確認します。
一般的な立体の体積
| 立体 | 体積 |
|---|---|
| 直方体 | $l \times w \times h$ |
| 柱 | 断面の面積 $\times$ × 長さ |
| 円柱 | $\pi r^2 h$ |
| 錐体 | $\dfrac{1}{3} \times$ × 底面の面積 $\times h$ |
| 円錐 | $\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ |
| 球 | $\dfrac{4}{3}\pi r^3$ |
柱は全長にわたって同じ断面を持つ。円柱は円形の柱であり、断面 $= \pi r^2$ なので、体積 $= \pi r^2 \times h$ となる。
ギザのピラミッドは巨大な正方形底面を持つピラミッドである——体積と表面積を計算できる実際の立体
円柱の半径は 5 cm、高さは 10 cm です。その体積は kπ cm³ です。k の値は何ですか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
体積 = πr²h = π(25)(10) = 250π なので、k = 250。
半径 r の球体の体積は：
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
球体の体積 = (4/3)πr³；4πr² はその表面積です。
円錐の半径は 3 cm、高さは 4 cm です。その体積は kπ cm³ です。k の値は何ですか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
体積 = (1/3)πr²h = (1/3)π(9)(4) = 12π なので、k = 12。
直方体は 4 cm × 3 cm × 5 cm です。その体積 (cm³) を求めなさい。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
体積 = l × w × h = 4 × 3 × 5 = 60 cm³。
表面積
- 外側のすべての面の面積を加算する。
- 円柱: 曲面 $2\pi rh$ に2つの円形端面 $2\pi r^2$ を加える。合計 $= 2\pi rh + 2\pi r^2$。
- 球: $4\pi r^2$。
表面積 ≠ 体積。円柱の体積は $\pi r^2 h$ (立方単位) を用い、表面積は $2\pi rh + 2\pi r^2$ (平方単位) を用いる。これらを混同することはよくあるミスである。
ギザのピラミッドは正方形底面を持つピラミッドであり、3次元の立体である
同じ円柱 (r = 5, h = 10) の全面積は kπ cm² です。k の値は何ですか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
2π(5)(10) + 2π(5²) = 100π + 50π = 150π なので、k = 150。
円柱の表面積と体積には同じ公式が使われます。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
体積 = πr²h (立方単位)；表面積 = 2πrh + 2πr² (平方単位)。異なる公式です。
worked example（計算例）
- 円柱 $r = 5$, $h = 10$:
- 体積 $= \pi(5^2)(10) = 250\pi\text{ cm}^3$。
- 表面積 $= 2\pi(5)(10) + 2\pi(5^2) = 100\pi + 50\pi = 150\pi\text{ cm}^2$。
体積は面積の上に構築される：円柱は円 ($\pi r^2$) が高さ ($h$) で延びたものである。
積み重ねられた容器は直方体であり、体積は長さ×幅×高さである
円錐の表面積と四角錐の体積
- 半径3 cm、垂線の高さ4 cm、母線5 cmの円錐の曲面の面積は$S_c=\pi rl=15\pi\text{ cm}^2$。円形の底面を加えると合計表面積は$S=15\pi+9\pi=24\pi\text{ cm}^2$、体積を求める際は垂線の高さ$V=\pi r^2h/3=12\pi\text{ cm}^3$を使う。
- 底面積が$30\text{ cm}^2$、垂線の高さが8 cmの四角錐の体積は$V=Ah/3=80\text{ cm}^3$。表面積を求める場合は、底面と三角形の側面を加え、各側面の垂線の高さを用いる。
円錐の底面半径 r が3 cm、母線が5 cmである。全表面積は kπ cm² である。k を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
曲面部分は15π、底面積は9π であるため、k = 24。
四角錐の底面積は 30 cm²、高さは 8 cm である。体積を cm³ で求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
V ＝ 底面積 × 高さ / 3 ＝ 30 × 8 / 3 ＝ 80。
理解できましたか
- 円柱の体積 $= \pi r^2 h$; 球 $= \dfrac{4}{3}\pi r^3$; 円錐 $= \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$
- 円柱の表面 $= 2\pi rh + 2\pi r^2$; 球の表面 $= 4\pi r^2$
- $r=5$, $h=10$ 円柱: 体積 $250\pi$, 表面 $150\pi$