Vector geometry and midpoint arguments · Higher
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| collinear/ˈkɒlɪnɪə/ | 同一直線上にある |
三角形の2辺の中点は新しい線分を形成します。ベクトルを用いることで、この線分が第三の辺に平行で、その長さのちょうど半分であることが証明できます。
- 三角形の2辺の中点は新しい線分を形成します。ベクトルを用いることで、この線分が第三の辺に平行で、その長さのちょうど半分であることが証明できます。
- この授業では**共線（collinear）**について学びます：1つの直線上にあること。
数学的構造を選択せよ
- 成分を加減算し、ベクトルをスカラー倍します。位置ベクトルは原点からの点の位置を指定し、変位 AB=b-a は2点を結びます。スカラー倍は平行な方向を与えます。共線性を確認するには、変位を共通の点に結びつける必要があります。中点は位置ベクトルの平均です。明確な始点と終点を持つベクトルの等式連鎖を記述しなさい。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
AB and MN are parallel in the midpoint proof. Why does that alone not prove A, B and a third point are collinear?
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Parallelism fixes direction only. To prove points collinear, show the displacements are scalar multiples AND share a common point - for example AB and AP parallel with A in both.
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
OA=a、OB=b とし、M を OA の中点、N を OB の中点とする。すると OM=a/2、ON=b/2 であり、MN=b/2-a/2=(b-a)/2=AB/2 となる。したがって MN は AB と平行で、その半分の長さである。a=(4,2)、b=(2,6) のとき、M=(2,1)、N=(1,3)、AB=(-2,4)、MN=(-1,2) となり、一般的な結果を検証できる。平行四角形 OACB において OC=a+b である場合、OC の中点は (a+b)/2 であり、AB の中点と同じであるため、対角線は互いに二等分される。AP=3AB/2 のとき、P は B を超えた直線 AB 上にあり、AP=AB/2 のときはその中点となる。別の位置にある平行なベクトルだけでは、3つの指定された点が共線であることを証明できない。
Vector geometry and midpoint arguments
Add/subtract components and multiply a vector by a scalar
Classify the worked-case statements, then explain the units or invariant that justifies each decision.
For a=(4,2),b=(2,6), find the x-component of AB.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
b-a gives 2-4=-2.
魅力的な近道を検証せよ
- AB=b-a とし、a-b としない。平行性だけでは直線の位置を特定できない。数値例は代数の確認にはなるが、一般的な中点の証明に代わるものではない。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
2つのベクトルが平行である場合、それらの図で使用される任意の3点は共線である。この主張は誤りである。どの定義や仮定に違反するかを説明しなさい。
Find the y-component of midpoint M of OA.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Half of a_y=2 is 1.
If two vectors are parallel, any three points used in their diagrams must be collinear.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Keep AB=b-a, not a-b. Parallelism alone does not locate a line. A numerical example can check the algebra but cannot replace the general midpoint proof.
新しい状況を読み解く
- AQA G25 Higher では、幾何学的な議論・証明にベクトルを使用する。G24 および基礎的な G25 の演算もFoundationに含まれる。この証明の授業では内積や空間の直線の方程式は扱わない。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
Find the y-component of MN for the two midpoint vectors.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Half of b_y-a_y=(6-2)/2=2.
Match each vector step to its role in the midpoint proof.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
A proof chains general vector equalities; a numerical example checks the chain but cannot replace it.
コースでこれを使用する
- 8300 · ハイレベル · 3.4. エクステンションを割り当てる前に、ターゲット・ティアと仕様を照合してください。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
1つの直線上にあること。関係性を選び、方法を示し、仮定を確認し、結果を解釈しなさい。