接線、弦、および交互円弧定理 · ハイレベル
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| alternate segment theorem/ɔːlˈtɜːnət ˈseɡmənt ˈθɪərəm/ | 弦切角の定理 |
Two paths from an outside point just touch a circular pond. Their equal lengths follow from right-triangle congruence, not from a symmetric-looking sketch.
- Two paths from an outside point just touch a circular pond. Their equal lengths follow from right-triangle congruence, not from a symmetric-looking sketch.
- This lesson studies alternate segment theorem 弦切角定理: The tangent–chord angle equals the angle subtended by that chord in the opposite segment.
Choose the mathematical structure
- A tangent is perpendicular to its contact radius. Tangents from one external point are equal. The perpendicular from the centre to a chord bisects it. The tangent–chord angle equals the angle on that chord in the alternate segment. Use equal radii, right triangles and the central-angle theorem to prove these relationships.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
外部の点Pから引いた2本の接線の長さが等しいのはなぜか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
OA=OBは半径、OPは共有、両方の接点における角は 90°であるため、RHS（斜辺・一辺）により合同三角形となり、対応する接線PAとPBも等しくなる。
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
At contact T, the radius OT is perpendicular to the tangent: a non-perpendicular line through T would have a smaller centre-to-line distance than the radius and cut the circle twice. For tangents PA and PB, OA=OB, OP is shared and both contact angles are 90°. RHS makes OAP and OBP congruent, so PA=PB. For a centre perpendicular OM to chord AB, OA=OB and OM is shared; RHS gives AM=MB. If OA=5 and OM=3, AM=4, hence AB=8. For a chord AB with minor central angle φ, triangle OAB has base angle (180-φ)/2. The adjacent tangent–chord angle is 90-(180-φ)/2=φ/2, equal to the circumference angle in the alternate segment. Thus a tangent–chord angle of 35° gives 35° in that segment. Reflex/supplementary configurations require the matching arc and angle.
接線、弦、および交互円弧定理
接線は、その接点における半径に垂直である。
例題の命題を分類し、それぞれの判断を正当化する単位または不変量を説明せよ。
半径と接線のなす角を求める。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
接線は、円の中心との接触点において半径に垂直である。
Test a tempting shortcut
- A tangent–chord angle and a radius–chord angle are different. Equal tangent lengths refer to one external point. The chord is bisected by a perpendicular from the centre, not by any line that happens to cross it.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
Any line through a circle centre bisects every chord it meets. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
点Pから引いた接線の長さは7である。もう一方の接線の長さも求める。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
同一の外点から引いた接線の長さは等しい。
円の中心を通る任意の直線は、その直線が交わるすべての弦を二等分する。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
接線と弦のなす角、および半径と弦のなす角は異なる。等しい接線の長さは、単一の外点についてのみ成り立つ。弦は中心からの垂線によって二等分されるが、単に交わっているだけの直線によって二等分されるわけではない。
Interpret a new situation
- AQA G10 Higher includes these theorem proofs and related results. Give the congruence criterion or angle chain explicitly and identify the relevant chord, contact point and alternate segment.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
35°の接線と弦のなす角に対する、交互円弧の角度を求める。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
同じ弦に対して交互円弧定理を適用する。
各接線または弦の性質をその説明と対応させよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
各結果は、合同三角形または中心角の定理によって証明される、等しい半径と直角によるものです。
Use this in your course
- 8300 · Higher · 3.4. Match the target tier and specification before assigning extensions.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
The tangent–chord angle equals the angle subtended by that chord in the opposite segment. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.