三角形の合同と幾何学的証明 · 上級
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| congruence/ˈkɒŋɡruːəns/ | 合同 |
2つの三角形補強材は同じ枠に収まる必要がある。3つの角が一致すれば形状は決まるが、サイズが一致することは保証されない。
- 2つの三角形補強材は同じ枠に収まる必要がある。3つの角が一致すれば形状は決まるが、サイズが一致することは保証されない。
- この授業では合同を学ぶ：形状とサイズが等しく、対応する辺と角が一致することである。
数学的構造を選択せよ
- SSS（3辺）、SAS（2辺とその挟角）、ASA（2角とその対応する辺）、RHS（直角、斜辺、その他1辺）を用いる。頂点は同じ順序で対応させる。AAAは合同ではなく相似を示す。SSAは通常、複数の三角形を許容する。証明には既知の事実、有効な基準、対応部分に関する結論が必要である。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
AAA（3つの角が等しい）で合同が証明されないのはなぜか
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
合同には形だけでなく大きさも必要である。AAAは相似性のみを示し、拡大図もすべての角を共有する。有効な基準はSSS、SAS、ASA、RHSである。
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
AB=AC の二等辺三角形 ABC において、D を BC の中点とする。三角形 ABD と ACD は AB=AC、BD=DC、共通の AD を持ち、SSS より合同である。したがって対応する底角 ABC と BCA は等しくなる。D における二つの角も等しく、それらは 180° をなすため、それぞれ 90° となる。ピタゴラスの定理を導くには、一辺が a+b の正方形内に、一辺 c の傾いた正方形を取り囲むように、脚 a, b の合同な直角三角形4つを配置する。面積より (a+b)²=4(ab/2)+c² となり、よって a²+b²=c² が得られる。a=3, b=4 のとき、c²=9+16=25 因此 c=5。これらの議論は図のスケールに依存せず結果を確立する。
三角形の合同と幾何学的証明
SSS（3辺）、SAS（2辺とその間の角）、ASA（2角とその対応する辺）、またはRHS（直角、斜辺、および他の1辺）を用いる。
例題の命題を分類し、それぞれの判断を正当化する単位または不変量を説明せよ。
二等辺三角形の頂角が 40° のとき、底角のいずれかを求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
底角は等しいので、(180-40)/2=70° となる。
魅力的な近道を検証せよ
- SASにおける角は、名付けられた二辺の間に位置しなければならない。RHSは任意の二辺ではなく斜辺を用いる。証明図は主張を補強するものであり、単なる外見による一致だけでは等しさを保証しない。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
角度が等しい二つの三角形は必ず合同である。この主張は誤りである。どの定義または仮定に違反するかを説明せよ。
直角三角形の脚が 3 と 4 のとき、斜辺 c² を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
面積による証明により、c²=3²+4²=25 が得られる。
角度が等しい2つの三角形は必ず合同である。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
SASの角は名付けられた辺の間に位置する必要がある。RHSは斜辺を使用し、任意の2辺ではない。証明図は根拠を示すものであり、視覚的な外見だけで等しさを確立することはできない。
新しい状況を読み解く
- AQA G5/G6では、基本的な合同条件や simple geometric proofs（単純な幾何学的証明）、特に二等辺三角形の底角およびピタゴラスの定理が含まれる。すべての対応する対を明記し、適用される条件を説明せよ。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
二等辺三角形の証明において、足元 D における各角度を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
合同により等しくなる；直線上の角の和は 180° である。
各合同基準とその条件を対応させよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
SASでは角は名指しされた辺の間に位置しなければならない。RHSでは斜辺が必要であり、任意の2辺ではない。
コースでこれを使用する
- 8300 · ハイレベル · 3.4. エクステンションを割り当てる前に、ターゲット・ティアと仕様を照合してください。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
形状と大きさが等しく、対応する長さや角も一致している。関係を選び、方法を示し、仮定を確認し、結果を解釈せよ。