長さ、面積および体積の拡大倍率・基礎
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| area scale factor/ˈeərɪə skeɪl ˈfæktə/ | 面積の縮尺 |
A model doubles every length. Each rectangular face doubles in two directions, while its volume doubles in three directions.
- A model doubles every length. Each rectangular face doubles in two directions, while its volume doubles in three directions.
- This lesson studies area scale factor 面积比例因子: The squared length factor between similar shapes.
Choose the mathematical structure
- For similar shapes with corresponding length factor k, area factor is k² and volume factor is k³. Name the direction of the comparison: model to real or real to model. Recover k from an area ratio by a square root and from a volume ratio by a cube root. A change in only one dimension does not create similar solids. Higher links corresponding sides to equal trigonometric ratios.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
相似な図形の面積が 20 と 80 cm² です。大きい方から小さい方への長さの拡大率は？
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面積比 = k² なので、k は面積比の平方根：√4=2。面積比をそのまま長さの倍率とするのは一般的なミスであり、体積には立方根が必要です。
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
Enlarging a box from 2×3×4 to 6×9×12 multiplies lengths by 3. Its volume changes from 24 to 648, a factor of 27; a 2×3 face changes area from 6 to 54, a factor of 9. Length ratio 2:5 corresponds to area ratio 4:25 and volume ratio 8:125. If similar shapes have areas 20 and 80 cm², the larger-to-smaller length factor is √(80/20)=2. If similar solids have volumes 16 and 128 cm³, k=∛8=2.
長さ、面積および体積の拡大倍率
対応する長さの倍率がkである相似な図形において、面積の倍率はk²、体積の倍率はk³である。
例題の命題を分類し、それぞれの判断を正当化する単位または不変量を説明せよ。
長さの倍率が3であるときの面積の倍率を求める。
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面は2つの方向に拡大される：3ײ=9。
Test a tempting shortcut
- Areas do not scale by k, and volumes do not scale by k². Similarity needs every corresponding length to share the same factor. Reversing a ratio requires the reciprocal factor.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
Doubling all lengths of a solid doubles its volume. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
長さの倍率が3であるときの体積の倍率を求める。
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立体は3つの方向に拡大される：3׳=27。
立体のすべての長さを倍にすると、体積も倍になる。
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面積はkで、体積はk²で拡大されるわけではない。相似性には、対応するすべての長さに対して同じ倍率が必要である。比を逆転させるには、逆数の倍率を用いる必要がある。
Interpret a new situation
- AQA R12 Foundation includes ratios and scale factors for lengths, areas and volumes. Higher adds links to similarity including trigonometric ratios. Check dimensions and compare a simple box or rectangle before applying the general factor.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
相似な図形の面積比が20:80（小さい方から大きい方へ）のとき、長さの倍率を求める。
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面積の倍率は80÷20=4であり、その平方根は2である。
各相似図形の比率を対応する倍率と一致させよ。
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2次元なら倍率の二乗、3次元なら三乗となります。面積や体積比から k を求めるには、対応する根号が必要です。
Use this in your course
- 8300 · Foundation · 3.3. Match the target tier and specification before assigning extensions.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
The squared length factor between similar shapes. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.