二次式と不等式 · 上級
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | 判別式 |
Which widths make enough space?
- A rectangular enclosure has area x(10-x). What widths give at least 21 square metres?
- This lesson studies discriminant 判别式: The quantity b²-4ac that determines the real roots of ax²+bx+c=0.
Choose the mathematical structure
- Factor where possible; otherwise complete the square or use the quadratic formula. A quadratic inequality needs the sign on intervals, not only the roots. The discriminant identifies repeated or missing real roots.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
x²-6x+9=0 の判別式は 0 である。これは何を意味するか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
b²-4ac=36-36=0 は、放物線が軸に接することを意味する。重解が一つあり、ここでは x=3 である。実数解がないためには判別式が負でなければならない。
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
The equation x²-10x+21=0 factorises as (x-3)(x-7)=0, giving roots 3 and 7. Complete the square: x²-10x+21=(x-5)²-4, giving turning point (5,-4) and symmetry line x=5. The formula x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a) also gives (10±4)/2=3,7. For 2x²+5x-3=0, the discriminant is 49 and roots are (-5±7)/4=1/2,-3. A graph gives approximate roots when exact factorisation is inconvenient. For an enclosure with area A=x(10-x), complete the square to get A=25-(x-5)². The greatest area is 25 at x=5, within 0<x<10.
二次式と不等式
y=(x²-10x+21)/4
このグラフは縦軸を正の因子 1/4 でスケール変換している。なぜ根が依然として 3 と 7 であるかを確認せよ。
x²-10x+21=0の小さい解を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
(x-3)(x-7)=0と因数分解できる。小さい解は 3である。
Test a tempting shortcut
- Multiplying an inequality by a negative number reverses its direction. A sketch must show which side of each root satisfies the inequality. Geometry may restrict x further.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
A positive discriminant means that a quadratic has no real roots. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
x²-6x+9=0の判別式を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
判別式は (-6)²-4×1×9=0である。
正の判別式とは、二次方程式に実数解がないことを意味する。
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不等式の両辺に負の数を掛けると、不等号の向きが逆になる。草図では、各解のどちら側で不等式が成立するかを示す必要がある。幾何学的な制約により、xの範囲がさらに狭められることがある。
Interpret a new situation
- AQA A11/A18 Higher interprets roots, intercepts and turning points, completes the square and uses the quadratic formula, including equations needing rearrangement. Factorisation and substitution check each result.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
x(10-x) の最大値を求めよ。
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平方完成: x(10-x)=25-(x-5)²。最大値は 25である。
各判別式の値を二次方程式の解に対応付けよ。
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判別式は解く前に実数解の個数を示し、どのような答えが得られるかを示す。
Use this in your course
- 8300 · Higher · 3.2. Match the target tier and specification before assigning extensions.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
The quantity b²-4ac that determines the real roots of ax²+bx+c=0. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.