A fill label gives a claim to test
- A fictional random sample of 16 containers has mean fill 496 mL and sample standard deviation 8 mL. The label claims a population mean of 500 mL.
- The question is whether the population mean is below 500 mL. The difference in sample means alone does not settle that question.
Write hypotheses about the population
- Set $H_0:\mu=500$ and the preplanned lower-sided alternative $H_a:\mu<500$. The symbol $\mu$ names the population mean.
- Do not put the observed sample mean into a null hypothesis about the population. Do not change the direction because the sample happens to fall below the label.
単一平均検定の帰無仮説の形式は...
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H0 は特定の主張される平均 μ0 を述べる。
事前に設定した質問と対案を対応させください。
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サンプルを確認する前に、研究質問から方向性を決定してください。
Check when this reference model is useful
- Check random sampling and independence, including the 10% condition when sampling without replacement. With 16 observations, inspect skew and outliers carefully.
- The t model is exact for independent normal observations and can be approximate in suitable other cases. Passing an arithmetic check does not establish the sampling assumptions.
μ0 = 500, x-bar = 496, s = 8, n = 16。t = (x-bar − μ0)/(s/√n) を計算せよ。
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(496−500)/(8/4) = −4/2 = −2.
Standardize using sample variability
- Use $t=(\bar x-\mu_0)/(s/\sqrt n)$. Here $SE=8/\sqrt{16}=2$ mL.
- The observed statistic is $t=(496-500)/2=-2$. The t reference distribution has $df=16-1=15$.
With the same t = -2 and df = 15, a two-sided alternative has p ≈ 0.0639. Its decision at 0.05 differs from the preplanned lower-sided test.
n = 16 のとき、一標本 t 検定の自由度は何か。
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df = n − 1 = 15。
Select the tail that answers the question
- The lower-sided alternative uses the area below $t=-2$ in the t distribution with 15 degrees of freedom. It is approximately 0.0320.
- The standard normal left-tail area at -2 is about 0.0228, a different value. Substituting a normal plot for this t reference changes the displayed evidence.
The reference curve, degrees of freedom and tail rule must match the selected procedure.
平均の σ が未知の場合、n が大きいときは z 検定を用いるべきである。
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ここで教授されている正規理論に基づく平均値的手順では、大样本 n の場合でも t 分布とサンプル標準偏差を使用してください。その際、t 曲線は正規分布に近づくことになります。
df = 15 および t = -2 の場合、t 分布と標準正規分布の左端の確率は同一です。
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t 分布の左端は約 0.0320 で、標準正規分布の左端は約 0.0228 です。
Report evidence rather than certainty
- At a prechosen significance level of 0.05, the approximate p-value 0.0320 leads to rejection of the 500 mL null claim in favour of a lower population mean.
- State the population, design, statistic, degrees of freedom, p-value and decision. The conclusion is not that every container is underfilled or that the true mean is certainly exactly 496 mL.
At a prechosen significance level of 0.05, the approximate p-value 0.0320 leads to rejection of the 500 mL null claim in favour of a lower population mean.
一標本 t 統計量の分母は...
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σ は未知なので、標本 SD を √n で割る。
片側テストで μ = 500 mL という主張を棄却しました。どの文が妥当ですか？
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このテストは不確実性のある母平均に関するものであり、個々の充填量や正確な母平均を特定するものではありません。