平均の区間は個々の物体の多くを説明しない
- リンゴの平均質量に対する有効な 95% 区間は (145.9, 154.1) グラムである。平均が 150 g であるという主張も妥当である。
- この区間は、個々のリンゴの 95% がこの範囲内にあることを意味するものではない。個々の質量は、それらの平均の不確かさよりもはるかに広く分布していることがある。
平均区間の解釈
- 正しく述べる：「私達は $95\%$ 信頼して、真の平均 $\mu$ が両端の間にあると考える。」文脈の中で、母集団と $\mu$ が何を単位と共に測定しているかを名指しで示す。
- この区間は、 population mean（母集団の平均）に対する * plausible values（妥当な値の範囲）* である。これは $\mu$ についてであり、単一のデータ値についてではない。
信頼水準の意味
- 信頼水準 は、方法が多くのサンプルにわたってどう機能するかを記述するものであり、一つの区間についてではない。「$95\%$ 信頼」＝ このように構築される $95\%$ の区間が $\mu$ を捉えるであろう、という意味である。
- 一つの区間は either $\mu$ を含んでいるか、含まないかのどちらかであり、どちらなのかはわからない。それは「$95\%$ の確率で $\mu$ がこの区間内にある」ということではない。
有効な 95% 信頼区間が母平均のりんごの質量を推定します。どの解釈が妥当ですか？
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固定された母平均、個々の観測値、および反復標本抽出法を別々に扱ってください。
主張の正当化
- 主張された平均（例えば $\mu = 100$）を検証する場合：それは区間の 中 にあるか？中にある → その値は妥当であり、除外できない。
- 外側にある → その区間は、その主張に対して 証拠となる。区間とは「この主張された平均が信じられるか？」という問いに答えるものである。
平均の95%信頼区間が (145.9, 154.1) である場合、主張 μ = 160 は...
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160は区間外にある → それを裏切る証拠となる。
'95%信頼'とは、μがこの特定の区間内にある確率が95%であることを意味する。
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μは固定されており、信頼性は多くのサンプルにおける手法の性質を記述する。
標本標準偏差と信頼度を一定として、nを増やすとt区間は...
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n が大きくなる → SE が小さくなる → 区間が狭くなる。
信頼区間内にあると主張される平均は妥当であり、却下されない。
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区内 → データと整合性がある。
nと信頼度を一定として、大きな標本標準偏差を用いるとt区間は...
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s が大きくなる → SE が大きくなる → 区間が広くなる。
区間は (145.9, 154.1) g です。この区間の誤差限界（マージン・オブ・エラー）はグラムでいくつですか？
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幅の半分は (154.1 - 145.9)/2 = 4.1 g です。
幅が変わる要因
- サンプルサイズが大きくなり、サンプルSDと信頼水準が一定なら → 区間は 狭くなる（SEが小さく、$t^{*}$ が $z^{*}$ に近づく）。高い信頼水準 → 区間は 広くなる（大きな $t^{*}$ となる）。
- 変動性の大きいデータ（大きな $s_x$）→ 区間は広くなる。$n$ を増やすことは、高い信頼水準からの拡大を相殺できるが、その程度を確認する必要がある。
「$95\%$信頼」は方法を示すものであり、単一の区間を指すものではない。 「$\mu$には$95\%$の確率で$(145.9, 154.1)$が含まれる」と言うべきではない——$\mu$は固定されているため、含まれているか含まれていないかのどちらかである。正しい解釈：$95\%$の割合の区間が、反復標本を通じて$\mu$を捉えることである。これは平均に対する比例-区間のロジックそのものである。
りんごの重量の平均に対する $95\%$ 区間は $(145.9,\ 154.1)$ g である。
- 解釈: $95\%$%の信頼度で、真の平均体重は $145.9$ g から $154.1$ g の間にある。
- 「平均が $160$ g である」という主張？ $160$ は区外であるため、これに対する証拠となる。
- 「平均が $150$ g である」という主張？ $150$ は区内であるため、妥当である。
の推論を新しいケースへ適用せよ
- サンプル標準偏差と信頼水準が一定の場合、n を増やすと標準誤差は減少する。
- 異なるサンプル間で標準偏差は変化するため、狭い区間就一定の保証ではない。
Match each quantity to the relevant interpretation.
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Keep the population mean, method coverage and individual values separate.
平均の信頼区間を「$95\%$%の信頼度で $\mu$ が両端の間にある」と解釈する。信頼水準は反復標本における手法の性能を示す。値が外側にあることは、その主張に対する証拠となる。$n$ が大きいほど区間は狭くなり、信頼度が高い（またはデータの変動が大きい）場合、区間は広がる。