20個のリンゴが示す母集団に関する問い
- 架空の無作為サンプルである20個のリンゴの平均質量は 150 g、サンプル標準偏差は 12 g である。目標は、サンプル化された母集団におけるリンゴの平均質量である。
- 他の無作為標本では平均が異なることがある。標本平均が偶然に母集団平均と一致することがあるが、等価性はこの標本によって証明されるものではない。
標本平均が母集団平均と完全に一致することはあり得ない。
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等号は成立する可能性があります。ただし、単に標本平均を観察しただけでは保証されたり確認されたりするものではありません。
データのばらつきとエラーを区別する
- サンプルによるばらつきは、有効なサンプル間に見られる自然な変動である。入力ミスやバイアスのあるサンプリング手法は別の問題である。
- 不確実性の式は、誤った測定値や最大サイズのリンゴのみから収集されたサンプルの修正にはならない。
平均に対する推論にt分布（zではない）を用いる主な理由は...
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sによるσの推定は不確実性を加える → tを用いる。
問題とそれに対する解釈を対応させる。
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推論モデルは標本抽出の変動性を反映しますが、破損したデータや選別的な収集によるバイアスには対応できません。
範囲の推定または主張の評価
- 信頼区間は、その仮定の下で母集団の平均に妥当な値を推定する。有意性検定は指定された帰無仮説を検証する。
- 計算前に母集団と問いを選択する。無作為割り当ては因果的な比較を可能にするが、参加者がすべての母集団を代表することを意味しない。
サンプリング変動はデータ収集におけるミスであり、修正が必要である。
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変動は自然なものであり、定量化可能である → ミスではない。
sigmaの推定が参照曲線を変える理由
- これらのt手続では、母集団標準偏差 $\sigma$ が未知である。サンプル標準偏差 $s$ はこれを推定する。
- 標準化された検定統計量 $(\bar x-\mu)/(s/\sqrt n)$ は、正規母集団からの独立した観測に対して自由度 $n-1$ のStudent t分布に従う。
自由度df = 19ではt曲線は中心付近で既に正規分布に近くなっていますが、尾の面積はまだ異なります。自由度df = 3では、より太い尾がはっきりと見えます。
正規分布と比較して、t分布には...
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太い尾は、σを推定することによる追加の不確実性を反映している。
n = 16、標本標準偏差が12 gの場合、平均値の推定標準誤差（g単位）を計算せよ。
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12/sqrt(16) = 3 g。
重い尾部を正しく読み取る
- 20個の観測がある場合、参照分布の自由度は 19 である。これは標準正規分布よりも尾部に多くの確率を持つ。
- 自由度が増加するにつれて、t曲線は標準正規曲線に近づく。「t」とラベル付けされた正規曲線はこの違いを示さない。
参照曲線、自由度および片側検定のルールは、選択した手順と一致している必要があります。
平均の推論は、比率の推論と同じ2つのツール（区間と検定）を用いる。
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どちらも区間と検定を通じて不確実性を定量化する。
条件付きモデルの適用
- 非正規分布の母集団に対して、t手法はサンプルが十分に大きく、極端な外れ値に支配されていない場合に有用な近似となります。
- 無作為設計、独立性、およびデータの形状を確認します。t参照曲線はばらつきの推定を反映しますが、すべての設計上の欠陥や分布の問題を補うものではありません。
非正規分布の母集団に対して、t手法はサンプルが十分に大きく、極端な外れ値に支配されていない場合に有用な近似となります。
σが未知の場合、平均の推論では ___-分布（文字1つ）を用いる。
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t分布は未知のσを扱う。