| English | 意味 |
|---|---|
| state vector/steɪt ˈvektə/ | 状態ベクトル |
| state/steɪt/ | 状態 |
| transition matrix/trænˈsɪʃn ˈmeɪtrɪks/ | 遷移行列 |
行列を用いた未来の予測
- 毎年、一部の人は都市から郊外へ移り、一部の人は逆に戻ってきます。
- 今年の人口が与えられたとき、来年の人口を予測できますか？
- 行列は移動率を格納し、予測を計算してくれます。
- 行列はこれにより、人口、市場、天気など、さまざまな事象をモデル化します。
ステートベクトル：現在の状況
- 現在の量をカテゴリーごとに1つずつ集めたものをステートベクトルと呼びます。
- 都市とその郊外の場合：$\begin{bmatrix}\text{city}\\ \text{suburb}\end{bmatrix}$、例えば$\langle 600, 400\rangle$（千人単位）。
- 各ステートは追跡している一つの要素を表し、ベクトルはその時点でのスナップショットです。
- 来年のスナップショットは新しいステートベクトルとなります。
A state vector in this kind of model holds…
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
A state vector lists how much is in each category right now — one entry per state.
遷移行列：ルール
- 遷移行列は、あらゆるステートのペア間の移動比率を格納します。
- 各数字は比率を示します。例：都市住民の$5\%$が毎年郊外へ移ります。
- 以下の図は、矢印上に移動率が示された2つのステートを示しています。
- それらの比率がそのまま行列の成分となります。
The matrix that stores the rates of movement between states is called the ____ matrix.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The transition matrix holds the fraction moving from each state to each other state.
Multiplying the transition matrix by the current state vector predicts the next state.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
One matrix-times-vector step advances the model by one time period.
時間を進める
- 遷移行列に現在のステートベクトルを掛けて来年のベクトルを得ます。
- 行列×ベクトルの演算1回で、1年分進みます。
- 2年後を知りたいならもう一度掛けます。10年後なら10回掛けます。
- このモデルは、乗算1回ごとに一歩ずつ進行していきます。
A good use of a matrix?
Matrices model transformations, systems and transitions. Sort each task.
To predict the state two periods ahead, you…
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Each multiplication advances one period, so two periods need two multiplications (or multiply by the matrix squared).
Select all true statements about matrix models.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The same transition matrix is reused each period — you do not redraw it. The other three are correct.
長期
- 反復するステップの多くは、変化しなくなる定常状態へと収束します。
- 定常状態では、都市を出る人と入る人が等しくなり、人口は一定に保たれます。
- 行列を使えば、毎年のシミュレーションを繰り返さずに、この長期的なバランスを見つけることができます。
- 同じ原理がウェブページのランキング、遺伝学、疫学モデルにも応用されています。
モデルを一貫性を持って設定してください。ステートベクトルを行列の右側から挂けるのかを一度決めて、各列（または行）の比率の和が$1$になるようにしてください。そうすることで、人々が失われたり凭空生み出されたりすることはありません。設定が一致しない場合、静かに無意味な予測結果が返されてしまいます。
都市 $= 600$、郊外 $= 400$（千人単位）。毎年 $5\%$ が都市→郊外、$2\%$ が郊外→都市へ移動します。
- 都市から出る人数：$0.05 \times 600 = 30$；入ってくる人数：$0.02 \times 400 = 8$。
- 新しい都市 $= 600 - 30 + 8 = 578$；新しい郊外 $= 400 + 30 - 8 = 422$。
- この行列は、この計算を単一の掛け算で正確に行う。
ステートベクトルは各ステートの現在の量を抱え、遷移行列はそれら間の移動率を格納します。行列にステートベクトルを掛けることでモデルを1期間分進め、これを繰り返すことで長期的な振る舞いを予測できます。これが現実の変化を行列でモデル化する仕組みです。