| English | 意味 |
|---|---|
| input/ˈɪnpʊt/ | 入力 |
| output/ˈaʊtpʊt/ | 出力 |
| composition/ˌkɒmpəˈzɪʃn/ | 合成 |
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | 逆関数 |
行列は関数である
- 数を受け取って数を返す関数を使ってきたはずです。
- 行列はベクトルを受け取り、ベクトルを返します — これもまた、一種の関数です。
- その"ルール"は：入力ベクトルに行列を掛けることです。
- このように行列を見ることで、あなたが知っているすべての関数とのつながりが生まれます。
入力を放进去，输出出来
- 入力はベクトルです；行列が処理し、出力は新しいベクトルです。
- $\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}$ は$\langle 4, 5\rangle$ を$\langle 8, 15\rangle$ に変える — 各方向を引き伸ばす。
- 行列をマシンだと考えてください：上部からベクトルが入り、下部から変換されたベクトルが出ます。
- 入力の領域全体が、出力の領域全体に写像されます。
2 × 2 行列を関数として見る場合、その入力と出力はどちらも…
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行列を関数として使う場合、入力ベクトルを受け取って出力ベクトルを返します——平面から平面への関数です。
行列 $\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}$ （入力 $\to$ 、出力）は $\langle 4, 5\rangle$ を $\langle 8, ?\rangle$ に送ります。出力 $y$ はいくつですか？
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2行目が $\langle0, 3\rangle$ なので、出力は $y = 3\cdot5 = 15$ です；全体の出力は $\langle8, 15\rangle$ です。
平面から平面への関数
- 入力はすべて平面内のベクトルであり、出力もまた平面内のベクトルです。
- つまり、$2\times2$行列は、平面全体を一度に変形する関数です。
- これらを連鎖させること（あるものの出力が次のものの入力になること）は合成と呼ばれます。
- 合成された変換の行列は、単に2つの行列の積です。
2つの行列関数を順に適用すること（连锁）は合成であり、その行列は积になります。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
通常の関数の合成と同じように、行列関数を连锁すると行列の掛け算になります。
逆関数の作成
- 関数が元に戻せる場合、その元に戻す操作を逆関数と呼びます。
- 行列関数の場合、逆関数はまさに逆行列です。
- 逆行列が存在するのは、行列式がゼロでない場合のみです。これは前回の条件と同じです。
- 行列を適用した後にその逆行列を適用すると、すべてのベクトルは元の位置に戻ります。
行列を関数として扱う
行列は入力ベクトルを受け取り、出力ベクトルを返します——ベクトル上の関数です。
行列関数の逆関数は…によって与えられます。
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逆行列は関数を元に戻しますが、行列式が非零の場合にのみ存在します。
行列を関数として扱うことに関する正しい文をすべて選択してください。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
出力はベクトルであり、数ではありません。残りの3つは正しいです。
関数的な視点の有用性
- 定義域、値域、合成、逆関数といった関数の概念を再利用できます。
- 合成が行列の掛け算として表されるため、変換の順序が重要である理由が説明されます。
- 行列式の判定基準は「この関数は逆関数を持つか？」という問いになります。
- これは事前微分学における関数から線形代数への架け橋となります。
すべての行列関数を逆転できるわけではありません。行列式がゼロの場合、行列は平面を直線上に圧縮してしまい、多くの入力が同じ出力を持つことになります。そのため、逆関数は存在しません。可逆性には行列式がゼロでないことが必要です。
$f(\vec{x}) = \begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}\vec{x}$ とします。
- 入力 $\langle1,1\rangle$ → 出力 $\langle2,3\rangle$。
- 入力 $\langle4,5\rangle$ → 出力 $\langle8,15\rangle$。
- 行列式 $= 2\cdot3 - 0 = 6 \ne 0$ なので、$f$ は $\tfrac12$ と $\tfrac13$ で縮小する逆関数を持ちます。
行列とは、入力と出力がどちらもベクトルである関数であり、平面から平面への写像です。行列関数を連鎖させることは合成であり、その行列は积です。逆関数は逆行列であり、行列式がゼロでない場合にのみ存在します。