| English | 意味 |
|---|---|
| inverse matrix/ɪnˈvɜːs ˈmeɪtrɪks/ | 逆行列 |
| determinant/dɪˈtɜːmɪnənt/ | 行列式 |
| identity matrix/aɪˈdentɪti ˈmeɪtrɪks/ | 単位行列 |
| not invertible/nɒt ɪnˈvɜːtɪbl/ | 非可逆 |
行列の逆操作
- 行列を掛けると空間が変換されますが、それを元に戻すことはできますか？
- 通常の数において、$5$ で割ることは、$5$ を掛けたことの逆操作になります。
- 行列にも独自の「逆」—— 逆行列があります。
- まず、逆が存在するかを決定する1つの数値が必要です：它就是行列式（determinant）。
行列式
- $\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$ の行列式は、単一の数値 $ad - bc$ です。
- 幾何学的には、その大きさは列が張る平行四辺形の面積である。
- 行列式が大きいほど、行列は面積を大きく引き伸ばします；小さいほど、ほとんど引き伸ばしません。
- ゼロの行列式とは、列が一直線上に並び、平行四辺形が扁平になることを意味します。
$\begin{bmatrix}3 & 1\\ 1 & 2\end{bmatrix}$ に対して、行列式は $3\cdot2 - 1\cdot1$ です。それは何ですか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$ の 行列式 は $ad - bc = 3\cdot2 - 1\cdot1 = 5$ です。
幾何学的に、2 × 2行列式の大きさは…を示します
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
行列式の絶対値は行列によってスケールされた 面積 です — 面積がゼロなら、列は平行です。
逆行列
- 逆行列 $A^{-1}$ は、逆作用 $A$ を行う行列です。
- これらを掛け合わせると、単位行列 $I$ が得られます — $1$ の行列版: $A A^{-1} = I$。
- $2\times2$ 行列の場合、$A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}$ です。
- 分母に行列式 $ad - bc$ が置かれていることに注意してください。
行列にその 逆行列 を掛けると単位行列になります。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
定義により $A A^{-1} = I$ は 単位行列 で、数 $1$ の行列版です。
逆行列が存在する条件
- ゼロの$ad - bc$で割ることはできません——したがって、行列式为ゼロということは逆行列が存在しないことを意味します。
- このような行列は非可逆です：平面を直線に圧縮して情報を失います。
- ゼロでない行列式は、一意の逆行列の存在を保証します。
- つまり、行列式は迅速な判定基準です：ゼロではない $\Rightarrow$ → 可逆。
行列式は面積の倍率因子です
行列式は行列が面積をいくつ倍するかを示します；ここでは面積を4倍します。
2 × 2行列が逆行列を持つのは、行列式が…のときだけ
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\det = 0$ なら、列は平行で逆行列は存在しません — 行列は 非可逆 です。
正しい記述をすべて select せよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
非零の行列式を持つ行列のみが逆行列を持ちます。したがって、すべての行列に逆行列があるわけではありません。
その重要性
- 逆行列は、行列方程式 $A\vec{x} = \vec{b}$ を一歩で解くために用いられます: $\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$。
- 这正是线性方程组使用矩阵求解的方法。
- 行列式はまた、連立方程式が一意の解を持たない（det $= 0$）タイミングも教えてくれます。
- これらの概念は、コンピュータグラフィックス、暗号学、データサイエンスの基盤となっています。
行列が逆行列を持つのは、行列式がゼロでない場合のみです。$ad - bc = 0$ の場合、公式はゼロで割ることになり — 逆行列はなく、連立方程式 $A\vec{x} = \vec{b}$ は解がないか無限大かのいずれかになります。常にまず行列式を確認してください。
$A = \begin{bmatrix}3 & 1\\ 1 & 2\end{bmatrix}$ の逆行列を求める。
- 行列式: $3\cdot2 - 1\cdot1 = 5$ （ゼロではないので、逆行列が存在する）。
- 対角成分を入れ替え、それ以外の成分の符号を反転させ、$5$ で割る:
$$A^{-1} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix}2 & -1\\ -1 & 3\end{bmatrix}.$$
- 確認: $A A^{-1} = I$ 。 ✓
行列式 $ad - bc$ は、行列が拡大・縮小する面積を表す単一の数値です。逆行列 $A^{-1}$ は行列の逆作用を行い、$A A^{-1} = I$（単位行列）となります。逆行列が存在するのは行列式がゼロでない場合のみであり、行列式がゼロなら行列は非可逆です。