Vectors

大きさ Direction together

• 「$5$ km 進む」では不十分です——どちらの方向へかを知る必要があります。
• 多くの物理量がこのように、速度、力、変位などはすべて方向を含みます。
• 単一の数では、どれほどの量とどちらの方向を同時に捉えられません。
• 私たちは新しい物体——ベクトル——が必要であり、それは矢印として描かれます。

ベクトルとは何か

• ベクトルには2つの情報があります：大きさ（長さ）と方向です。
• 矢印として描かれ、長さが大きさ、指す方向が方向です。
• スカラー（温度や質量など、大きさのみを持つ単純な数）と対比されます。
• 速度はベクトルですが、速さ（単なる数値）はスカラーです。

成分形式

• 水平方向と垂直方向への進み方を分解し、成分形式を作ります。
• $\langle 3, 2\rangle$ は $3$ 右方向和 $2$ 上への進みを意味します。
• 水平成分と垂直成分は、直角三角形の脚のように振る舞います。
• ベクトルの加算は、成分を別々に足すことで容易に行えます。

ベクトル ⟨3, 2⟩: 成分は3と2、大きさは √13。

大きさの求め方

• 大きさは矢印の長さであり、ピタゴラスの定理で見つかります。
• $\langle a, b\rangle$ に対して、大きさは $\sqrt{a^2 + b^2}$ です。
• つまり $\langle 3, 4\rangle$ の大きさは $\sqrt{9 + 16} = 5$ です。
• 成分が脚、大きさが斜辺です。

倍法と加算

• ベクトルにスカラーを掛けて伸縮させます: $2\langle 3, 2\rangle = \langle 6, 4\rangle$ 。
• 負のスカラーはさらに方向を反転させます。
• 2つのベクトルを足すには、成分を足すか、幾何学的に先頭と尾部をつなげます。
• これらの演算により、合成力や合成運動をモデル化できます。