| English | 意味 |
|---|---|
| ellipse/ɪˈlɪps/ | 楕円 |
| parabola/pəˈræbələ/ | 放物線 |
| hyperbola/haɪˈpɜːbələ/ | 双曲線 |
| conic section/ˈkɒnɪk ˈsekʃn/ | 二次曲面（円錐曲線） |
円錐の切り口
- 二重円錐を取り、異なる傾きの平面で切る。
- 真横に切ると円になり、少し傾けると楕円に伸びる。
- より多く傾けると放物線に広がり、さらに急になると双曲線に分かれる。
- これら4つの曲線——二次曲面は——科学とデザイン全体に現れる。
二次曲面のファミリー
- 二次曲面とは、平面が円錐を切ることで生じる曲線である。
- 4つのタイプは、円、楕円、放物線、双曲線である。
- それぞれにきれいな暗黙的方程式と幾何学的な「距離」の定義がある。
- 惑星は楕円軌道上を回り、投げられた球や衛星アンテナは放物線を描く。
二次曲線とは…によって形成される曲線です。
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二次曲線は平面と円錐の交点であり、切断の角度によって円、楕円、放物線、双曲線が得られます。
円は特殊な二次曲線（2つの焦点が一致する楕円）です。
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2つの焦点が1つの中心に統合されると、楕円は完璧な円になります。
楕円
- 楕円とは、2つの固定焦点への距離の和が一定となる点の集合である。
- その方程式は$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$であり、伸縮した円である。
- 円は2つの焦点が1つの中心に統合される特殊ケースに過ぎない。
- 長い軸は長軸、短い軸は短軸である。
楕円とは、2つの焦点への距離の和が…である点の集合です。
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楕円上のすべての点は、2つの焦点への合計距離が同じです——この定数が形状を決定します。
すべての二次曲線を選択してください。
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三角形は二次曲線ではありません。円、楕円、放物線、双曲線が二次曲線です。
放物線と双曲線
- 放物線とは、焦点と固定直線（准線）からの距離が等しい点の集合である。
- その方程式は $y = ax^2$ のように見えます — 二次関数のグラフです。
- 双曲線とは、2つの焦点への距離の差が一定となる場所である。
- その方程式は$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$であり、2つの分支に開いている。
どの二次曲線ですか？
二乗項は二次曲線の種類を示します。各方程式を分類してください。
____とは、焦点と准線との距離が等しい各点を持つ二次曲線です。
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放物線は、焦点までの距離と固定された直線（准線）までの距離のバランスを取ったものです。
二次曲面の識別
- 方程式の形を読む：$x^2 + y^2$で係数が等しいものは円である。
- $x^2$と$y^2$に異なる正の係数があれば楕円。
- 平方項が一つだけあれば放物線になり、その間にマイナスがあれば双曲線になります。
- 平方項の符号パターンから、どの二次曲面か判断できます。
すべての二次曲線が $x$ の関数であるとは限りません。円、楕円、横方向のパラボラは垂直線テストに合格しません。それらは単一の $y = f(x)$ に強制的に変換しようとせず、暗黙方程式やパラメータ表示で記述します。
二次曲線 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ を同定してください。
- 両方の項は二乗されており、正の値を持ち、かつ異なる係数です。
- これは 楕円 の方程式です。
- 長軸 $x = \pm 3$ と短軸 $y = \pm 2$ に伸びています。
二次曲線（円、楕円、放物線、双曲線）は、円錐を切断して得られる曲線です。それぞれに距離による定義（楕円は2つの焦点までの距離の和など）と特徴的な暗黙方程式があり、ほとんどの場合、 $x$ の関数ではありません。