| English | 意味 |
|---|---|
| simple harmonic motion/ˈsɪmpl hɑːˈmɒnɪk ˈməʊʃn/ | 単振動 |
| restoring force/rɪˈstɔːrɪŋ fɔːs/ | 復元力 |
自然が好む往復運動
- スプリングについた質点は上下に揺れ、繰り返される。
- ギタリの弦、ブランコ、調音フォーク——すべて同じダンスを繰り返す。
- 外に引くと、必ず元に戻そうとする力が働く。
- 滑らかで繰り返される振動すべてを支配する一つの法則がある。
復元の法則
- 単純調和運動は、復元力が変位に比例する場合に起こる：
- マイナス符号は、力が常に平衡点に向かって作用することを意味する。
- 遠ざかるほど大きな引き戻し力 -- これがSHMの定義である。
ばね定数 $k = 20\ \text{N/m}$ のばねが $x = 0.15\ \text{m}$ だけ伸びた。復元力の大きさ（N）は？
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$|F| = kx = 20 \times 0.15 = 3\ \text{N}$.
復元力が...の場合、運動は単振動である。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$F = -kx$ -- $x$ に比例し、平衡点に向かって向かう。
$F = -kx$ のマイナス記号は、力が常に平衡点に向かうことを意味する。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
力は変位に逆らうことで、質量を $x = 0$ へと戻そうとする。
加速度は本質を突く
- 質量で割ると、加速度は次のように表される：
- 加速度は変位に比例するが、方向は逆である。
- 定数 $\omega^2 = k/m$ が振動の速さを決める。
SHMにおいて、$\omega^2 = 25\ \text{rad}^2/\text{s}^2$の位置で変位が$x = 0.2\ \text{m}$のとき、加速度の大きさ（m/s²）は？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$|a| = \omega^2 x = 25 \times 0.2 = 5\ \text{m/s}^2$.
一般的な力の種類
- スプリング上の質量：$F = -kx$ を直接用いる。
- 小さい角度での単振動：重力がほぼ線形な引き戻し力を生む。
- 線形な復元力を持つあらゆる系はSHMとして振動する。
SHMの復元力
単振動には、変位に比例し中心に向かう復元力が必須である。
スプリング上の $0.5\ \text{kg}$ 質量に $k = 8\ \text{N/m}$ が働き、$0.1\ \text{m}$ だけ引いて手放す。
- 手放した瞬間の復元力：$F = -kx = -8 \times 0.1 = -0.8\ \text{N}$。
- 加速度：$\omega^2 = k/m = 16$ なので、$a = -\omega^2 x = -16 \times 0.1 = -1.6\ \text{m/s}^2$。
SHMにおいて、加速度が最大になるのはどこか？
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$a = -\omega^2 x$ は $x$ が最大となる地点、つまり両端で最大。
振り子の変位は小角度のみ単振動として振る舞う。
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小角度のみ復元力が変位に比例する。
単振動は小さい角度（おおよそ $15^\circ$ 以下）のみ有効であり、大きい角度では引き戻し力が変位に比例しない。マイナス記号は必須である -- なければ質量を押しやり、振動は発生しない。加速度は極点（最大の$x$）で最大となり、平衡点でゼロになる。これは速度とは正反対だ。
単純調和運動とは、復元力が変位に比例して原点に向かうときに見られる滑らかな繰り返しである：$F = -kx$、したがって$a = -\omega^2 x$、ここで$\omega^2 = k/m$。スプリングはこれを正確に示し、小角度単振動は近似として示す。加速度は極点で最大、平衡点でゼロになる。