| English | 意味 |
|---|---|
| resistive force/rɪˈzɪstɪv fɔːs/ | 抵抗 |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | 微分方程式 |
| terminal velocity/ˈtɜːmɪnl vəˈlɒsɪti/ | 終末速度 |
スカイダイバーが加速をやめる理由
- 飛行機から飛び降りると加速するが、それは永遠には続かない。
- 落下速度が速くなるほど空気抵抗が強まり、やがて重力とちょうど釣り合う。
- その後、一定の最高速度で落下する。
- これを理解するには、速度に比例して増加する力 と、少しの微積分が必要である。
抵抗力的な力
- 抵抗性力（空気抵抗、抗力）は、流体中を運動する物体に対して運動に逆らう方向に働く。
- 摩擦とは異なり、速度に比例して増大する -- 速く動けば動くほど、強い抵抗として反発する。
- 静止している状態では抗力は全くなく、高速になると非常に大きな値になることがある。
抵抗力は物体の速度が大きくなると大きくなる。
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通常の摩擦力とは異なり、抗力は速度に比例して増大するため、最終的に重力と釣り合うことができる。
抗力のモデル化
- 抗力を速度に比例する $F = -bv$、あるいは速度の二乗に比例する $F = -cv^2$ としてモデル化することが多い。
- 負の符号は、力が常に運動と逆向きであることを意味する。
- $\sum F = ma$ を適用すると、速度に関する微分方程式が得られる。
速度依存性の抗力に対してニュートンの第二法則を適用すると、v(t) のための ____ 方程式が得られる。
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$m\,dv/dt = mg - bv$ は微分方程式であり、解くことで v が終端速度にどのように近づくかを見つける。
終端速度
- 加速するにつれ、抗力は駆動力（重力）と釣り合うまで大きくなる。
- このとき合力はゼロになり、加速度は停止し、速度は一定値に収束する。
- その一定の最大速度を終端速度と呼ぶ。
抵抗力と終端速度
落下する物体が速くなると、抗力が増大し、最終的に重力と釣り合って加速が止まる。
終端速度において、物体の加速度は...
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抗力が重力と釣り合うため、合力および加速度はゼロになる。
極限への到達
- $m\dfrac{dv}{dt} = mg - bv$ を解くと、$v$ が$v_t = mg/b$ へ滑らかに近づくことがわかる。
- 徐々に近づいていくが、決して超えることはない。
- これがパラシュート跳躍者の速度が無限大に伸びず、一定値に落ち着く理由である。
重量 $mg = 60\ \text{N}$ の物体が、抗力 $F = -bv$ （$b = 3\ \tfrac{\text{kg}}{\text{s}}$ ）で落下している。終端速度（単位：m/s）を求めよ。
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終端速度では $mg = bv_t$ であり、したがって $v_t = 60/3 = 20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ となる。
終端速度に関する 真 の記述をすべて選択せよ。
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抗力は落下中ずっと作用している。終端速度とは、抗力が成長して重力と打ち消し合う点に過ぎない。
同じ抗力係数 $b$ で、より 重い 物体の終端速度は...
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$v_t = mg/b$ は質量とともに大きくなるため、重い物体ほど最高速度で速く落ちる。
質量$m$ の落下物体には、抗力$F = -bv$ が働く。
- 終端速度とは$\dfrac{dv}{dt} = 0$ となる点であり、したがって$mg = b v_t$ となる。
- 解くと、$v_t = \dfrac{mg}{b}$ -- 質量が大きいほど、または抗力が小さいほど、終端速度は高くなる。
終端速度とは抗力が現れる瞬間のことではない -- 抗力は落下全体を通して働くものである。それは抗力が重力を十分に打ち消す特殊な速度のことである。それより低い速度ではまだ加速しており（ただし加速度は小さくなりつつある）、終端速度に達するまでその傾向が続く。
抵抗性力は速度に依存して増大する（$F = -bv$ または $-cv^2$）ため、$\sum F = ma$ は微分方程式となる。速度が上がると抗力は大きくなり、最終的に重力と釣り合って合力がゼロとなり、終端速度 $v_t = mg/b$ に至る。物体はこの速度に滑らかに近づくが、決して超えることはない。