| English | 意味 |
|---|---|
| center of mass/ˈsentə ɒv mæs/ | 重心 |
| system/ˈsɪstəm/ | 系 |
| internal forces/ɪnˈtɜːnl ˈfɔːsɪz/ | 内力 |
| external forces/ekˈstɜːnl ˈfɔːsɪz/ | 外力 |
| point particle/pɔɪnt ˈpɑːtɪkl/ | 質点 |
| integral/ˈɪntɪɡrəl/ | 積分 |
| net external force/net ekˈstɜːnl fɔːs/ | 合力（外力の和） |
回転するレンチを投げる
- リンチを部屋の中へ投げると激しく転がり回りますが、単一の点が滑らかな単純な弧を描きます。
- その特別な点が重心です。
- 物体がどのように回転したり揺れたりしても、その重心は、全質量がその一点に集約されたかのように運動します。
- 重心を見つけると、複雑な回転問題は単純な点質量の問題になります。
システムを一つの点として扱う
- システムとは、一緒に研究する物体のグループのことです。
- システム内部の力は内力、外部からの力は外力と呼ばれます。
- 全体は、重心に単一の質点があるかのように動きます。
Select all true statements about the center of mass.
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The first two are the core rules. The third is false -- it is the mass-weighted center, not the shape's midpoint.
離散的な質量の重心
- 直線上にある別々の点質量について、重心は質量加重平均位置です：
- 重い質量ほど重心を自分の方へ引きます。
A $1\ \text{kg}$ mass is at $x = 0$ and a $3\ \text{kg}$ mass is at $x = 4\ \text{m}$. Where is the center of mass (in m)?
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$x_{cm} = \dfrac{1(0) + 3(4)}{1 + 3} = \dfrac{12}{4} = 3\ \text{m}$ -- close to the heavier mass.
Move one mass farther from the others. The center of mass...
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The mass-weighted average follows the mass -- moving a mass out pulls $x_{cm}$ toward it.
Masses $2\ \text{kg}$ at $x=0$, $2\ \text{kg}$ at $x=2$, and $4\ \text{kg}$ at $x=5$. Find $x_{cm}$ (in m).
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$x_{cm} = \dfrac{2(0)+2(2)+4(5)}{2+2+4} = \dfrac{24}{8} = 3\ \text{m}$.
積分による重心
- 連続体については、和を質量に対する積分で置き換えます：
- 物体を微小な部分 ⟨$dm$⟩ に切り分け、それぞれに位置で重み付けして足し合わせます。
Centre of mass of a system
Tap the parts to see where the centre of mass of a two-body system sits.
For a continuous body the sum in the center-of-mass formula becomes an ____.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$x_{cm} = \tfrac{1}{M}\int x\,dm$ -- an integral over the mass distribution.
外力のみがそれを動かす
- 重心は**合力（正味の外力）**に対してのみ加速します。
- 内力は、たとえ激しいものであっても、重心の位置を変えることは決してありません。
- それが、回転するレンチの重心が、投げられたボールと同じなめらかな軌道を描く理由です。
A hidden explosion inside a floating system (no outside forces) can shift its center of mass.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Explosion forces are internal, so they cannot move the center of mass. Only a net external force can.
$2\ \text{kg}$ の質量が $x = 0$ にあり、$4\ \text{kg}$ の質量が $x = 3\ \text{m}$ にあります。
- $x_{cm} = \dfrac{2(0) + 4(3)}{2 + 4} = \dfrac{12}{6} = 2\ \text{m}$.
- 期待通り、重心は重い $4\ \text{kg}$ の質量に近くなっています。
重心は必ずしも幾何学的中心とは限りません。均質の棒では真ん中ですが、一端に荷重をかけると重心は重い方へ移動します。これは形状の中央ではなく、質量による加重平均だからです。
重心とは質量加重平均の位置であり、$x_{cm} = \dfrac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$（または連続体の場合$\tfrac{1}{M}\int x\,dm$）で表されます。全体として系が運動する場合、すべての質量がその点にあるかのように振る舞い、それを加速できるのは外力の合力のみです。