| English | 意味 |
|---|---|
| scalar/ˈskeɪlə/ | スカラー量 |
| vector/ˈvektə/ | ベクトル量 |
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | 大きさ |
| components/kəmˈpəʊnənts/ | 成分 |
「5km進め」と言っても、どの方向？
- 友達に「5km歩け」と言うと、あなたは中心となる円周上のどこかに着く可能性がある。
- 「北へ5km歩け」と言えば、目的地はただ一つに決まる。
- 量のうち、大きさだけを必要とするものもあれば、方向も必要なものもある。
- これらを区別することが力学の第一歩である。
スカラーとベクトル
- スカラーは大きさ（絶対値）のみを持つ——温度や時間など。
- ベクトルは大きさと方向を持つ——力や速度など。
- 種類の違いによって、加算の仕方が変わる。
大きさと方向の両方を持つ量は ____ と呼ばれる。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
ベクトルは大きさと方向を持ち、スカラーは大きさのみを持つ。
どちらがどちらか
- スカラー: 距離、速さ、質量、エネルギー、時間。
- ベクトル: 変位、速度、加速度、力、運動量。
- スカラーに対応するベクトルには、「どの方向か」という追加情報が含まれる。
スカラーかベクトルか？
方向が必要かどうかによって各量を分類しなさい。
これらは ベクトル どれか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
速度は大きさと方向を持つためベクトルである。温度、質量、時間はスカラーである。
すべての スカラーを選びなさい。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
速さとエネルギーはスカラー（大きさのみ）。力と変位はベクトルである。
ベクトルの加算
- ベクトルは単なる数字の足し算ではなく、頭から尾へとつなげて加算する。
- 最も簡単な方法：軸に沿って各ベクトルを成分に分解し、成分同士を加算する。
- $3\ \text{N}$ の二つの力を加算すると、方向次第で $0$ から $6\ \text{N}$ の間のどのような値にもなり得る。
東へ $9\ \text{km}$ 進んだ後、北へ $12\ \text{km}$ 進む。スタート地点からの距離（km単位）はいくらか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
変位の大きさは $\sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{225} = 15\ \text{km}$ -- $21$ ではない。
2つの $4\ \text{N}$ 力は常に $8\ \text{N}$ に加算される。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
同じ方向を向いている場合に限る。直角なら $\sqrt{4^2+4^2} \approx 5.7\ \text{N}$、逆向きなら $0$ 。
大きさと方向
- 成分 $(A_x, A_y)$ から、大きさは $|\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}$ となる。
- 方向は角度 $\theta = \tan^{-1}(A_y/A_x)$ である。
- 成分表示と大きさ・角度表示は、同じベクトルを表す二つの言語に過ぎない。
成分が $A_x = 6$, $A_y = 8$ であるベクトルの大きさは何か？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$|\vec{A}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$.
あるベクトルの成分は $A_x = 3$, $A_y = 4$ である。
- 大きさ: $|\vec{A}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ 。
- 方向: x軸上方 $\theta = \tan^{-1}(4/3) \approx 53^\circ$ 。
ベクトルをただの数字のように足すことはできない。東へ $3\ \text{km}$ 進んでから北へ $4\ \text{km}$ 進むと、終点は $5\ \text{km}$ 離れており、$7$ ではない。二つのベクトルが同じ向きを向いた場合のみ、大きさは単純に加算される。
スカラーは大きさのみを持ち、ベクトルは大きさと方向を持つ。ベクトルは成分（$A_x$ , $A_y$ ）を用いて加算し、その後大きさ $\sqrt{A_x^2 + A_y^2}$ と角度を取り戻す。距離と速さはスカラーであり、変位、速度、力はベクトルである。