SHMは時間に対して完璧な正弦波を描く
- 振動する質量の軌跡を追跡し、位置を時間にプロットすると、滑らかで繰り返される波形が得られる。
- 鋭角的なジグザグではなく、正弦波や余弦波の優雅な曲線である。
- この形状は単調振動の指紋であり、これによりあらゆる瞬間を予測できる。
- これを読むことで、一瞬にして位置、速度、加速度がわかる。
運動方程式
- 最大変位から始めると、位置は$x(t) = A\cos(\omega t)$に従う。
- $A$ は振幅（最大変位）であり、$\omega = 2\pi f$ は角周波数である。
- 1周期$T$後、曲線は完全に繰り返される。
- 時刻を代入すれば、式によって正確な位置が得られる。
サイクル内の位置
位相を順を追って確認し、サイクル全体における位置とエネルギーの変動を見ます。
ある振動数が$x(t) = 0.1\cos(4t)$ （メートル）です。時刻$t = 0$ における位置はメートルで幾つですか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$x(0) = 0.1\cos 0 = 0.1\ \text{m}$ ：最大変位（振幅）。
$x(t) = A\cos(\omega t)$ において、記号$A$ は ____ です。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$A$ は振幅であり、平衡点からの最大変位を指します。
最も速い場所と加速が大きい場所
- 速度は中央（平衡点）で最大となり、両端（折り返し点）ではゼロとなる。
- 加速度は両端で最大となり、中央ではゼロとなる。
- これは加速度が力に従うためである：$a = -\dfrac{k}{m}x$、つまり$x$が最大のところで最大となる。
- したがって、速度と加速度は「位相がずれている」—oneが最大となる時に他はゼロとなる。
簡易調和運動の振動器が最も速く動くのはどこか。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
中央では加速度（および力）がゼロになるため、速度が最大になります。
簡易調和運動の振動器の加速度が最大になるのはどこか。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$a = -\tfrac{k}{m}x$ は$x$ が最大となる場所、つまり端点で最大になります。
ある質量が右端から始まります。次に起こる出来事を上から順に並べ替えなさい。
難易度 3/5 · 200 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
中央に向かって加速（そこで最大速度）、その後他の端点で停止するために減速します。
位置、速度、加速度
- 位置が余弦なら、速度は（負の）正弦であり、加速度は（負の）余弦である。
- 各々は直前の波形から四分の一周ずれています。
- 加速度は常に変位とは逆向きである—これが再びSHMの条件である。
- 3つのグラフ together で運動の全体像が語られる。
簡易調和運動において、加速度は常に位移とは逆向きを向きます。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$a = -\tfrac{k}{m}x$ ：マイナス符号は、加速度が位移と反対方向であることを示しています。
SHMにおいて、速度と加速度は同じ場所で最大にならない。速度は中心部（加速度がゼロの地点）で最大となり、加速度は極限点（速度がゼロの地点）で最大となる。これらを混同することは古典的な誤りである。
振動子は振幅$A = 0.1\ \text{m}$、角周波数$\omega = 4\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$を持ち、最大変位から始まる。
- 位置: $x(t) = 0.1\cos(4t)$。
- ⟨$t = 0$⟩ のとき: $x = 0.1\cos 0 = 0.1\ \text{m}$（最大値）、ここで速度はゼロとなる。
SHMの位置は$x(t) = A\cos(\omega t)$に従い、振幅$A$、角周波数$\omega = 2\pi f$の正弦曲線である。速度は中心部で最大、加速度は極限点で最大となり、加速度は常に変位の逆向きを向く。