Twist harder to spin faster — but big wheels resist
- Give a bike wheel a hard flick and it spins up quickly; a heavy flywheel barely responds to the same twist.
- More torque spins things up faster; more rotational inertia fights the change.
- There is one equation that ties torque, inertia and angular acceleration together.
- It is Newton's second law — dressed for rotation.
The rotational second law
- Net torque equals rotational inertia times angular acceleration: $\sum \tau = I\alpha$.
- Rearranged: $\alpha = \dfrac{\sum \tau}{I}$ — the spin-up a torque produces.
- Bigger torque ⇒ bigger $\alpha$; bigger $I$ ⇒ smaller $\alpha$.
- It is the exact twin of $\vec F = m\vec a$, with rotational quantities swapped in.
輪に$12\ \text{N·m}$の正味トルクが働き、$I = 3\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$を持つ場合。角加速度は$\tfrac{\text{rad}}{\text{s}^2}$でいくか？
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$\alpha = \sum\tau / I = 12/3 = 4\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}^2}$.
$I = 2\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ の回転慣性を持つ車輪に $5\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}^2}$ の角加速度を与えるには、どのような正味トルクが必要か？ 答えは $\text{N·m}$ で示せ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\tau = I\alpha = 2 \times 5 = 10\ \text{N·m}$.
回転の第二法則は、正味トルク $= I\_\_$ （角量の値を埋めよ）である。
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$\sum\tau = I\alpha$ — 慣性 × 角加速度。
The full analogy
- Force $\to$ torque $\tau$; mass $\to$ rotational inertia $I$; acceleration $\to$ angular acceleration $\alpha$.
- Every straight-line law has a rotational partner obtained by this swap.
- $F = ma$ becomes $\tau = I\alpha$; momentum $mv$ becomes angular momentum $I\omega$.
- Learn one column and you get the other for free.
回転の第二法則 $\tau = I\alpha$ において、質量の役割を果たす物理量はどれか。
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回転慣性 $I$ は質量の回転における対応物であり、角加速度への抵抗を表す。
各回転量を直線運動に対応する量と結びつけよ。
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$\tau \leftrightarrow F$、$I \leftrightarrow m$、$\alpha \leftrightarrow a$ は $F = ma$ を $\tau = I\alpha$ に変換する。
Why heavy wheels are sluggish
- A large $I$ (mass far from the axis) means a given torque produces only a small $\alpha$.
- Flywheels use this on purpose — they resist changes in spin, smoothing an engine's rotation.
- To spin up a heavy wheel quickly you need a large torque.
- Same torque, larger inertia ⇒ slower to get going, and slower to stop.
回転に対するニュートンの第二法則
トルクは回転慣性に比例して角加速度を生じさせる：トルク ＝ I × α。
同じ正味トルクに対して、大きな回転慣性では角加速度は小さくなる。
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$\alpha = \tau / I$：分母の $I$ が大きいほど、 $\alpha$ は小さくなる。
The rotational second law uses net torque, not force, and rotational inertia, not mass. Do not plug plain mass into $\tau = I\alpha$ — you must use $I = \sum mr^2$, which depends on how the mass is arranged.
A net torque of $12\ \text{N}\cdot\text{m}$ acts on a wheel of rotational inertia $I = 3\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$.
- $\alpha = \dfrac{\sum \tau}{I} = \dfrac{12}{3} = 4\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}^2}$.
Double the rotational inertia and the same torque gives only $2\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}^2}$.
Newton's second law for rotation: $\sum \tau = I\alpha$, so $\alpha = \sum\tau / I$. It mirrors $F = ma$ with torque for force, rotational inertia for mass, and angular acceleration for acceleration. A large $I$ makes an object sluggish to spin up or slow down.