メリーゴーランドでは端が素早く動く
- 回転するメリーゴーランドの中心付近に立っていると、ゆっくりと流れていくように感じる。
- 端に立っていると素早く巻き込まれるが、誰しもが同じ回転 rate を共有している。
- 全体が一体となって回転するため、誰しもが同じ角速度を持つ。
- しかし、各乗客の直線速度は座席の位置（半径）に依存する。
橋渡し方程式
- 弧の長さと角度を結びつける: $s = r\theta$ 。
- 直線速度と角速度を結びつける: $v = r\omega$ 。
- 接線加速度と角加速度を結びつける: $a_t = r\alpha$ 。
- いずれの場合も、角 quantity に半径 $r$ を掛ける。
半径が速さを決める
半径を変えて、弧の長さ（およびしたがって直線速度）が r にどのように比例するかを確認せよ。
ある点は車輪の軸から $0.3\ \text{m}$ 離れており、$\omega = 10\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$ で回転している。その点の直線速度は $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ で幾らか？
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$v = r\omega = 0.3 \times 10 = 3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
扫過された弧の長さは $s = r\_\_$ （角量を埋めよ）。
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$s = r\theta$ — 半径にラジアン単位の角度を掛けたもの。
すべて正しい直線-回転対応式を選択せよ。
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各式は、$r$ を掛けて角量を直線量に結びつける。$v = \omega/r$ は誤りである。
外側ほど速い
- $v = r\omega$ 因此，同一回転 speed において、大きい半径ほど大きな直線速度を与える。
- 車輪の外周は、ハブ付近の点よりも速く動く。
- これが、長いレバーの先端やファンブレードの端、あるいはメリーゴーランドの外側の馬が最も速く動く理由です。
- 物体上では $\omega$ がどこでも同じですが、半径によって $v$ は異なります。
剛体回転円盤において、縁の点と中心付近の点を比較するとどうなるか。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
すべての点が $\omega$ を共有する；縁は半径が大きいため、那里で $v = r\omega$ は大きくなる。
上記の車輪について、軸から $0.6\ \text{m}$ 離れた地点での直線速度は $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ で幾らか？
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$v = r\omega = 0.6 \times 10 = 6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — 半径を倍にすれば、速度も倍になる。
すべりなしの回転運動
- 車輪がすべりなく転がる場合、その中心は $v = r\omega$ で動きます。
- 接点は一時的に静止しており、上部は $2v$ で動きます。
- この簡明な条件が、車輪の回転と進行を結びつけています。
- 次のトピックで回転エネルギーに使用します。
滑りなく転がる車輪の中心は $v = r\omega$ で移動する。
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滑りなく転がることは、移動距離と回転数を $v = r\omega$ によって正確に結びつける。
剛体として回転する物体上のすべての点は 同じ $\omega$ を共有しますが、同じ $v$ ではありません。縁と中心が同じ直線速度で動いていると仮定しないでください。半径が大きいため、縁の方がはるかに速いのです（$v = r\omega$）。
回転している車輪の軸から $0.3\ \text{m}$ 離れた位置に点が存在し、車輪は $\omega = 10\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$ で回転している。
- $v = r\omega = 0.3 \times 10 = 3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
同一の回転速度であれば、一点が $0.6\ \text{m}$ にあれば $6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ で移動することになり、倍速となる。
直線運動と角運動は 半径 によって結びついています：$s = r\theta$, $v = r\omega$, $a_t = r\alpha$。剛体上のすべての点は同じ $\omega$ を共有しますが、軸から遠い点ほど大きな $v$ を持ちます。すべりなく転がる車輪は $v = r\omega$ を満たします。