| English | 意味 |
|---|---|
| power series/ˈpaʊə ˈsɪəriːz/ | 冪級数 |
既知の級数を用いて新しい級数を構築する
- すべてのテイラー級数を導関数から計算する必要はありません。既知の級数を変形します。
- 幾何級数 $\frac{1}{1-x}=\sum x^n$ または マクローリン級数 $e^x,\sin,\cos$ から始めます。
- 代入、掛け算、微分、または積分を行い、新しい関数を冪級数として表現します。
- これは級数に対する代数学であり、素早くかつ巧妙です。
代入と掛け算
- $x$に式を$x$で$-x^2$に$\frac1{1-x}$を代入して$\frac{1}{1+x^2}=\sum(-x^2)^n=\sum(-1)^n x^{2n}$を得る。
- 級数に $x$ の累乗や定数を掛けます： $x\cdot e^x=\sum\frac{x^{n+1}}{n!}$ 。
- 各操作で有効な冪級数が保たれます（代入については収束区間的调整が必要です）。
- 新たな導関数の計算は不要です。単に値を代入して組み合わせるだけです。
幾何級数から構築される
y = a / (1 − b·x)
$-x^2$を$\tfrac{1}{1-x}=\sum x^n$に代入して$\tfrac{1}{1+x^2}$の級数を構築する — 新しい導関数は必要ない。
$u=-x^2$を$\tfrac{1}{1-u}=\sum u^n$に代入すると$\tfrac{1}{1+x^2}=$が得られる。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$(-x^2)^n=(-1)^n x^{2n}$.
既知の級数から新しいべき級数を生成する操作はどれか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
代入、スケール/掛け算、微分、積分 — 無秩序な並べ替えではない。
項ごとの微分と積分
- 収束区間内では、冪級数は項ごとに微分したり積分したりできます。
- $\frac{1}{1+x^2}=\sum(-1)^n x^{2n}$ を積分して $\arctan x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$ を得ます。
- 級数を微分すると、その導関数の級数が得られます。
- これらの操作により、より単純な級数から有名な級数（ $\arctan$ や $\ln(1+x)$ など）を生成できます。
収束区間内では、べき級数は項ごとに微分および積分できる。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
収束区間内での有効な操作。
$\sum(-1)^n x^{2n}$を項ごとに積分すると、...の級数が得られる。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\int\tfrac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan x$.
強力なツールキット
- 代入、スケーリング、掛け算、微分、積分 — 5つの操作で、無数の新しい級数が生まれます。
- これは通常、高次の導関数を直接計算するよりもはるかに速いです。
- 新しい級数は、出発元の級数の収束半径を概ね引き継ぎます。
- どの操作を適用すべきかを識別することが、真のスキルです。
べき級数を項ごとに積分すると、既知の値によって固定される定数 ____ が導入される。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
例：$\arctan 0=0$が$C=0$を固定する。
$x\to -x^2$の代入は収束区間を変更することがある。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
新しい変数に対して収束区間を再導出する。
項ごとの微分と積分は収束区間内でのみ有効です（また、積分には $+C$ が加わります。これは既知の値、例えば $\arctan 0=0$ で固定します）。 $x\to -x^2$ のように代入を行う場合も収束区間が変わるため、新しい変数から再導出する必要があります。
$\dfrac{1}{1+x^2}$ の冪級数を見つけてください。
- $\dfrac{1}{1-u}=\sum u^n$ から始め、 $u=-x^2$ を代入します。
- $\dfrac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^\infty(-x^2)^n=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n x^{2n}=1-x^2+x^4-\cdots$ （$|x|<1$ に対して）。
関数を冪級数で表すには、既知の級数を変形します：代入、掛け算/スケール、または項ごとの微分/積分（収束区間内で有効；積分には $+C$ が加わります）。例： $\frac{1}{1-x}$ に代入して積分すると、 $\frac{1}{1+x^2}$ と $\arctan x$ の級数が得られます。