| English | 意味 |
|---|---|
| alternating series error bound/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈsɪəriːz ˈerə baʊnd/ | 交互級数の誤差上限 |
How close is a partial sum?
- If you stop an alternating series after a few terms, how far off is your estimate?
- For a convergent alternating series, there's a beautifully simple bound.
- The alternating series error bound 交错级数误差界: the error is no bigger than the first omitted term.
- One term tells you the accuracy — no messy computation.
The bound
- Approximate the sum $S$ by the $n$th partial sum $S_n$. The remainder (error) is $|S-S_n|$.
- For a convergent alternating series (decreasing $b_n\to0$):
-
$$|S-S_n|\le b_{n+1}$$
- The error is at most the absolute value of the next term — the first one you left out.
次の項が誤差の上限となる
交互級数の部分和は真の和を挟むため、誤差は最大でも次の（除外された）項の大きさである。
収束する交互級数について、誤差 $|S-S_n|$ は最大でも...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$|S-S_n|\le b_{n+1}$.
誤差は、最後に含めた項ではなく、最初の ____ 項によって括られる。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$b_{n+1}$ を用い、これは加算していない項である。
Why the next term bounds it
- Because terms alternate and shrink, the true sum is always trapped between consecutive partial sums.
- So stopping at $S_n$ overshoots or undershoots by less than the size of the next term.
- The partial sums close in like a shrinking accordion around $S$.
- Hence the very next term is a guaranteed error ceiling.
$1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ を $3$ 項で近似する場合、誤差の上限は次の項 $b_4$ である。それは何か？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$b_4=\tfrac14=0.25$.
真の和は常に交互級数の連続する部分和の間に挟まれる。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
それが次の項が誤差の上限となる理由である。
Using it to guarantee accuracy
- Want the error under $0.01$? Find the first term with $b_{n+1}\le 0.01$ and stop there.
- The bound lets you decide how many terms you need for a target accuracy.
- It only applies to alternating series meeting the Alternating Series Test conditions.
- Simple, tight, and exam-friendly.
この誤差の上限は、任意の収束級数（交互かどうかも問わず）に適用されるわけではない。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
テストの条件を満たす交互級数のみに適用される。
$0.01$ 以下の誤差を保証するには、次の項 $b_{n+1}$ が...になるまで項を続ける。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$b_{n+1}\le0.01$ になったら止める。
This bound works only for alternating series that satisfy the Alternating Series Test (decreasing $b_n\to0$) — it does not apply to positive-term series. The error is bounded by the first omitted term $b_{n+1}$, not the last included one. Use $b_{n+1}$, the size of the term you didn't add.
Estimate $\sum_{n=1}^\infty\tfrac{(-1)^{n+1}}{n}=1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ with the first $3$ terms; bound the error.
- $S_3=1-\tfrac12+\tfrac13=\tfrac{5}{6}\approx0.833$.
- First omitted term: $b_4=\tfrac14$. So $|S-S_3|\le\tfrac14=0.25$.
- The true sum $\ln 2\approx0.693$ is indeed within $0.25$ of $0.833$. ✓
The alternating series error bound: for a convergent alternating series, the error of the $n$th partial sum is at most the first omitted term, $|S-S_n|\le b_{n+1}$. It applies only to alternating series meeting the test's conditions, and lets you pick how many terms guarantee a target accuracy.