| English | 意味 |
|---|---|
| Ratio Test/ˈreɪʃɪəʊ test/ | 比の判定法 |
Comparing a term to the one before it
- When terms involve factorials or $n$th powers, comparisons are awkward. Use the Ratio Test 比值判别法 instead.
- It looks at how each term compares to the previous one — the ratio $\big|\tfrac{a_{n+1}}{a_n}\big|$ — in the limit.
- A ratio settling below $1$ means terms shrink geometrically fast, forcing convergence.
- It's the go-to test for factorials and exponentials.
The test
- Compute $\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$.
- $L<1$: the series converges (absolutely).
- $L>1$ (or $L=\infty$): the series diverges.
- $L=1$: the test is inconclusive — use another test.
1未満の比は収束を強制する
連続する項の比が $1$ 以下に落ち着き、項が幾何学的に速く縮小すれば、級数は収束する。
比テストにおいて、$L=\lim|a_{n+1}/a_n|<1$ の場合、級数は...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$L<1$ → 収束する。
比テストは、連続する項の比の絶対値を用いる。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$L=\lim|a_{n+1}/a_n|$.
Factorials and powers love the ratio test
- Factorials telescope beautifully: $\dfrac{(n+1)!}{n!}=n+1$ — the ratio simplifies enormously.
- Same for $n$th powers of a constant: $\dfrac{r^{n+1}}{r^n}=r$.
- So series like $\sum\tfrac{2^n}{n!}$ or $\sum\tfrac{n!}{n^n}$ are natural ratio-test problems.
- Write $\tfrac{a_{n+1}}{a_n}$, cancel, and take the limit.
比テストで $L=1$ が得られた場合、...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$L=1$ は情報を与えない。
$a_n=\tfrac{2^n}{n!}$ の場合、$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=$
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\frac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!}=\frac{2}{n+1}$.
比テストは特に次のような級数に適している...
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
p級数は $L=1$ を与える（無効）；階乗や指数関数は簡潔に整理される。
The $L=1$ dead zone
- When $L=1$, the ratio test gives no information — the series could converge or diverge.
- This happens for p-series (e.g. $\sum\tfrac1{n^2}$ gives $L=1$), where you'd use the p-series rule instead.
- So the ratio test shines on factorials/exponentials but is useless on plain powers of $n$.
- Recognize $L=1$ and switch tools.
$\lim\tfrac{2}{n+1}=0<1$ であるため、級数 $\sum\tfrac{2^n}{n!}$ ...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$L=0<1$ → 収束する。
Take the absolute value of the ratio, and remember the three cases: $L<1$ converges, $L>1$ diverges, $L=1$ is inconclusive (don't guess — use another test). The ratio test is powerful for factorials/exponentials but gives $L=1$ (useless) on p-series like $\sum\tfrac1{n^p}$.
Does $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^n}{n!}$ converge?
- $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!}=\dfrac{2}{n+1}$.
- $\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{2}{n+1}=0<1$.
- Since $L<1$, the series converges.
The Ratio Test: $L=\lim\big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\big|$. $L<1$ → converges, $L>1$ → diverges, $L=1$ → inconclusive. Ideal for factorials and exponentials (the ratios simplify); useless (gives $L=1$) on p-series.