| English | 意味 |
|---|---|
| alternating series/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈsɪəriːz/ | 交互級数 |
符号が入れ替わる級数
- 一部の級数は符号が交互します：$+,-,+,-,\dots$ 、例えば $1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\cdots$ のような。
- これらは 交互級数 であり、独自の穏やかな収束判定法を持っています。
- 符号の入れ替わりにより項が部分的に相殺されるため、交互級数はより容易に収束します。
- 2つの簡単な条件を持つ一つの判定法がこれらに対応します。
交互級数判定法
- 交互級数 $\sum(-1)^n b_n$ （$b_n>0$ 伴随）は 両方が満たされる場合 に 収束 します：
- 1. 項が減少する: $b_{n+1}\le b_n$, および
- 2. 項が0に収束する: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=0$。
- 両方が成立すれば、交互級数は収束する。これだけでいい。
Shrinking alternating terms
If the positive part decreases to $0$, the sign flips let the partial sums close in — the series converges.
The Alternating Series Test requires the positive terms $b_n$ to be which?
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Decreasing and limit $0$.
符号の反転が役立つ理由
- 新しい項は直前の項より小さく、符号が逆であるため、部分的に前の値を打ち消し合います。
- 部分和は振動しますが、その振幅は縮小していき、ある極限値に近づいていきます。
- だからこそ $1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ は収束しますが、$1+\tfrac12+\tfrac13+\cdots$（調和級数）は発散します。
- 交互性が調和項を鎮静化させているのです。
The alternating harmonic series $\sum\tfrac{(-1)^{n+1}}{n}$...
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$b_n=\tfrac1n$ decreases to $0$ → converges.
The sign ____ let the partial sums close in on a limit.
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Alternation causes partial cancellation.
$\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ converges even though $\sum\tfrac1n$ diverges.
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The alternation tames the harmonic terms.
簡潔に応用する方法
- $(-1)^n$ の符号を取り除き、正の部分 $b_n$ について2つの条件を確認します。
- $b_n$ は単調減少か？ $b_n\to0$ もそうか？ 両方ともYesなら、収束する。
- $b_n$ が $0$ に至らない場合、級数は発散する（これはnth項テストによる）。
- $b_n$ を分離してしまえば、この判定は迅速である。
You check the two conditions on the positive part $b_n$ after removing $(-1)^n$.
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Isolate $b_n$ first.
If $b_n\not\to0$ for an alternating series, it...
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Terms not $\to0$ → diverges regardless of alternation.
正の項 $b_n$（$(-1)^n$ を取り除いた後）に2つの条件を適用します。両方必要です：減少していることかつ極限が $0$ です。$b_n\not\to0$ の場合、級数は発散します（n項テストによる）。なお、このテストは交互級数の収束のみを保証し、$\sum b_n$ や $\sum|a_n|$ については何も言及しません（絶対収束と条件付き収束の違いについては、Lesson 10.9をご参照ください）。
交互調和級数 $1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\cdots$ は収束しますか？
- 正の部分 $b_n=\tfrac1n$。減少していますか？ はい、$\tfrac1{n+1}<\tfrac1n$。極限が $0$ ですか？ はい、$\tfrac1n\to0$。
- 両方の条件が満たされているため、交互級数テストにより級数は収束する。
- （単なる調和級数は発散しますが。）
交互級数テスト: $\sum(-1)^n b_n$（$b_n>0$ とともに）収束するためには、項 $b_n$ が減少しており、$b_n\to0$ である必要があります。正の部分 $b_n$ において両方の条件を確認します。交互性があることで、$\sum\frac{(-1)^n}{n}$ のような級数が非交互版では発散するにもかかわらず収束できるようになります。