| English | 意味 |
|---|---|
| comparison tests/kəmˈpærɪsn tests/ | 比較判定法 |
Judging a series by a known neighbor
- If a mystery series looks like a series you already understand, compare them.
- The comparison tests 比较判别法 measure an unknown positive series against a known one (usually a p-series or geometric series).
- Bigger than something that diverges → diverges. Smaller than something that converges → converges.
- Two flavors: a direct comparison and a limit comparison.
Direct Comparison Test
- For positive terms with $0\le a_n\le b_n$:
- If $\sum b_n$ converges, then the smaller $\sum a_n$ converges too.
- If $\sum a_n$ diverges, then the bigger $\sum b_n$ diverges too.
- Squeeze from the right side: bounded above by a convergent series, or below by a divergent one.
既知の級数と比較する
正の級数が既知の収束級数（または発散級数）に囲まれている場合、同じ運命をたどる — 支配的な比較対象を選ぶ。
$0\le a_n\le b_n$ と $\sum b_n$ が収束する場合、$\sum a_n$ も...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
収束級数より小さい → 収束する。
比較テストは正の項を必要とする。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
それらは正の級数の大きさ（絶対値）を比較する。
Limit Comparison Test
- Sometimes inequalities are awkward; instead compare growth rates.
- Take $\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}$. If $L$ is a finite positive number ($0<L<\infty$), then $\sum a_n$ and $\sum b_n$ share the same fate.
- Pick $b_n$ from the dominant terms of $a_n$ (e.g. compare $\tfrac{n}{n^3+1}$ with $\tfrac1{n^2}$).
- The limit being positive and finite means they behave alike.
極限比較テストにおいて、$\lim\tfrac{a_n}{b_n}=L$ が $0<L<\infty$ と...の場合、
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
有限な正の極限 → 同じ収束挙動を示す。
極限比較テストで結論を出すには、極限 $L$ が有限であり、かつ ____ でなければならない。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$0<L<\infty$ が必須である。
Choosing the comparison series
- Look at the dominant behavior of $a_n$ for large $n$ — the highest powers on top and bottom.
- $\dfrac{3n^2+1}{n^4+5}$ behaves like $\dfrac{3n^2}{n^4}=\dfrac{3}{n^2}$ — compare with the p-series $\tfrac1{n^2}$.
- Then either bound it directly or take the limit ratio.
- The right comparison series turns a scary series into a known one.
$\sum\dfrac{3n^2+1}{n^4+5}$ のテストには、適切な比較級数は...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
支配的な挙動 $\tfrac{3n^2}{n^4}=\tfrac{3}{n^2}$ → $\tfrac1{n^2}$ と比較する。
$\tfrac{1}{n^2+1}<\tfrac1{n^2}$ と $\sum\tfrac1{n^2}$ が収束するため、$\sum\tfrac{1}{n^2+1}$ も...
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収束級数によって上から括られる → 収束する。
Comparison tests need positive terms. For Direct Comparison, the inequality must point the right way: to prove convergence, bound above by a convergent series; to prove divergence, bound below by a divergent one. For Limit Comparison, the limit $L$ must be finite and positive ($0<L<\infty$) to conclude same fate.
Does $\displaystyle\sum\dfrac{1}{n^2+1}$ converge?
- For large $n$, $\dfrac{1}{n^2+1}$ behaves like $\dfrac{1}{n^2}$ (a convergent p-series).
- Direct: $\dfrac{1}{n^2+1}<\dfrac{1}{n^2}$, and $\sum\tfrac1{n^2}$ converges → so does the smaller series.
- Therefore $\sum\dfrac{1}{n^2+1}$ converges.
The comparison tests judge a positive series against a known one. Direct: bound above by a convergent series (→ converges) or below by a divergent one (→ diverges). Limit: if $\lim\frac{a_n}{b_n}$ is finite and positive, both share the same fate. Choose $b_n$ from $a_n$'s dominant terms.