| English | 意味 |
|---|---|
| harmonic series/hɑːˈmɒnɪk ˈsɪəriːz/ | 調和級数 |
| p-series/piː ˈsɪəriːz/ | p-級数 |
A whole family of test cases
- Two related series come up so often they get names — and a simple convergence rule.
- The harmonic series 调和级数 is $\sum\tfrac1n=1+\tfrac12+\tfrac13+\cdots$.
- The p-series p-级数 generalizes it: $\sum\tfrac1{n^p}$ for a fixed power $p$.
- One clean threshold on $p$ decides convergence for the whole family.
The p-series rule
- $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}}$ converges if $p>1$ and diverges if $p\le 1$.
- Bigger $p$ makes the terms shrink faster — fast enough to converge once $p$ passes $1$.
- This follows directly from the Integral Test on $\int_1^\infty x^{-p}\,dx$.
- Memorize the threshold: the cutoff is exactly $p=1$.
項はどの程度速く縮小するか？
p級数は項が $\tfrac1{n^p}$ 足够速く縮小する場合にのみ収束する — 閾値はちょうど $p>1$ である。
p級数 $\sum\tfrac1{n^p}$ が収束するのは...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$p>1$ の場合に限り収束する。
p級数の収束の境界値はちょうど $p=$ ____ である。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$p>1$ で収束し、$p\le1$ で発散する。
The harmonic series is the borderline
- The harmonic series is the $p=1$ case — and $p=1$ diverges.
- Its terms $\tfrac1n\to0$, yet the sum grows without bound (slowly, but forever).
- It's the classic "terms shrink but the series still diverges" example.
- $p=1$ sits exactly on the wrong side of the cutoff.
調和級数 $\sum\tfrac1n$ （$p=1$ ）...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$p=1$ は発散するが、項 $\to0$.
調和級数は、項が $0$ に近づくことが収束を保証しないことを示している。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
その項は $\to0$ だが、それでも発散する。
Instant convergence checks
- Recognize a p-series and you skip all the work — just compare $p$ with $1$.
- $\sum\tfrac1{n^2}$: $p=2>1$ → converges. $\sum\tfrac1{\sqrt n}=\sum\tfrac1{n^{1/2}}$: $p=\tfrac12\le1$ → diverges.
- These are also the standard comparison series for the comparison tests (next lesson).
- Knowing p-series cold speeds up a huge fraction of series problems.
収束する級数をすべて選択してください。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$p=2,3>1$ は収束し、$p=\tfrac12,1$ は発散する。
$\sum\tfrac1{\sqrt n}$ は $p=\tfrac12$ を持つp級数である。したがって...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$p=\tfrac12\le1$ → 発散。
The cutoff is strict: $\sum\tfrac1{n^p}$ converges only for $p>1$. The boundary case $p=1$ (harmonic) diverges — a very common trap, since its terms do go to $0$. And $\sum\tfrac1{\sqrt n}$ is $p=\tfrac12$, which diverges (not converges) — a fractional power below $1$.
Classify each series.
- $\sum\tfrac1{n^3}$: $p=3>1$ → converges.
- $\sum\tfrac1{n}$: $p=1$ → diverges (harmonic).
- $\sum\tfrac1{n^{0.9}}$: $p=0.9\le1$ → diverges.
A p-series $\sum\tfrac1{n^p}$ converges iff $p>1$; it diverges for $p\le1$. The harmonic series is the $p=1$ case, which diverges despite its terms going to $0$. Recognizing a p-series gives an instant convergence verdict.