| English | 意味 |
|---|---|
| Integral Test/ˈɪntɪɡrəl test/ | 積分判定法 |
級数と積分の連動
- 級数の項が良好な減少関数から得られる場合、その運命は対応する積分と同じになる。
- 積分テストは$\sum a_n$と$\int f(x)\,dx$を比較し、ここで$a_n=f(n)$である。
- 項を長方形の面積として描くと、曲線下の面積によって挟まれる。
- よって、 improper integral が収束するか否かが、級数の同様の振る舞いを決定する。
条件
- テストには、$f$がある点$x\ge$以降正で連続かつ減少していることが必要である。
- $a_n=f(n)$を定義し、improper integral と比較する。
- これらの条件により、長方形が$f$の曲線下の面積を挟み込む。
- 適用前に3つの条件すべてを確認せよ。非減少の$f$は比較を破綻させる。
積分テストでは $f$ が $[1,\infty)$ 上で どの 性質を持つことが必要か？
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正、連続、減少 — 多項式である必要はない。
積分テストは、$a_n=f(\ \_\_\ )$ を設定することで級数を積分に結びつける。
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項は、関数を整数で評価したものである。
結論
- $\displaystyle\sum a_n$と$\displaystyle\int_1^\infty f(x)\,dx$は両方収束するか両方発散する——同じ運命。
- improper integral を計算せよ：有限であれば級数は収束し、無限であれば発散する。
- （級数の和は積分の値ではない——収束という性質だけを共有するだけで、数値は異なる。）
- 一つのimproper integral で全体の級数を判定できる。
積分テストによると、$\sum a_n$ と $\int_1^\infty f\,dx$ ...
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運命を共有するが、値は共有しない。
反復積分の値は級数の和に等しい。
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収束を共有するが、値は共有しない（$\sum\tfrac1{n^2}=\tfrac{\pi^2}{6}\neq1$ ）。
なぜ有効か
- 面積$a_n$の長方形は、曲線$y=f(x)$の直上または直下にぴったり fit する。
- したがって、この級数は $\int f$ と $\int f + a_1$ の間に挟まれており — 有限の積分は有限の級数を意味する。
- これは厳密な「面積比較」であり、評価可能な積分に和を変換する手法である。
- $\tfrac1{n^p}$ や $\tfrac1{n\ln n}$ のような項に対して特に便利です。
曲線によって区切られた長方形
y = 1/x²
項の長方形は $f$ の下の面積に接するため、級数と積分は同時に収束するか発散する。
$\int_1^\infty \tfrac1{x^2}\,dx=1$ （有限）なので、級数 $\sum\tfrac1{n^2}$ ...
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有限の積分 → 収束級数。
$\int_1^\infty f\,dx$が発散して$\infty$に近づく場合、$\sum a_n$である。
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同じ運命：発散する積分 → 発散する級数。
積分判定法には $f$ 正、連続、単調減少であることが必要です——すべて確認してください。また、この判定法は収束・発散のみを示し、値自体は示しません：$\sum a_n \neq \int_1^\infty f\,dx$ 一般的に。級数の和として定積分の値を報告しないでください。
級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}$ に積分判定法を適用します。
- $f(x)=\tfrac1{x^2}$ は $x\ge1$ に対して正、連続、単調減少です。✓
- $\displaystyle\int_1^\infty \tfrac1{x^2}\,dx=1$ （有限値、6.13の授業より）。
- 定積分が収束するため、級数は 収束 します。（その和は $\tfrac{\pi^2}{6}$ で、$1$ ではありません。）
積分判定法：関数 $f$ が $a_n=f(n)$ において 正、連続、単調減少 であれば、級数 $\sum a_n$ と $\int_1^\infty f(x)\,dx$ は 同じ運命をたどります（両方収束するか、両方発散するか）。反則積分を計算して判定しますが、その値は級数の和ではありません。