| English | 意味 |
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| nth Term Test/ˌenˌtiːˈeɪtʃ tɜːm test/ | 一般項判定法 |
発散を素早く証明する方法
- 高度な判定を行う前に、最も手軽な確認を行ってください：項を確認します。
- 第n項の判定（または発散判定）は、項の極限 $a_n$ を用います。
- 項が $0$ に収束しない場合、級数は絶対に収束せず、直ちに発散します。
- これは最初に試すべきものであり、常に発散のみを証明するものです。
判定の手順
- $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n$ を計算します。
- $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$ （または極限が存在しない）の場合、級数は$\sum a_n$ 発散します。
- 直感的に言えば、$0$に縮小しない断片を繰り返し足し合わせれば、総和は決して安定することはない。
- 極限の計算を一度行えば、判定が終わるかもしれません。
零に達しない項
級数の項が非ゼロの値に漸近する場合、和は決して落ち着かない。第n項テストは発散を示す。
$\lim_{n\to\infty}a_n\neq 0$ ならば、$\sum a_n$ ...
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非ゼロの項の极限 → 発散。
収束を証明することは絶対にできない
- $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0$ の場合、判定は無効であり、何の情報も与えません。
- 級数は収束するかもしれないし発散するかもしれません；別の判定を用いる必要があります。
- 調和級数 $\sum\tfrac1n$ は $a_n\to0$ を持っていますが発散します——これがこの判定が収束を確認できないことの証拠です。
- つまり「$0$」という極限はこの判定においては行き止まりであり、通行止めではありません。
$\lim_{n\to\infty}a_n=0$ ならば、第n項テストは...
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発散のみを示す。$0$ の极限では何も分らない。
第n項テストは級数が収束することを証明できる。
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発散のみを証明できる。
級数 $\sum\tfrac1n$ は $a_n\to0$ を持つが発散する。これは第n項テストが...
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$0$ の极限は収束を保証しない。
戦略における位置づけ
- 常に第n項の判定を最初に行います——これは迅速であり、困難な判定を回避できるためです。
- 項が $\to0$ でない場合？ 終了：発散。
- 項が $\to0$ の場合？ 本格的な収束判定（幾何級数、積分、比較、比、交互級数）へ進みます。
- 它是筛子，而非最终答案。
$\sum\dfrac{n}{2n+1}$ に対し、$\lim a_n=\tfrac12$ 。よって級数は...
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$\tfrac12\neq0$ → 発散。
迅速なフィルタとして、収束判定の中で第n項テストを ____ 行う。
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最も安価な発散チェックである。
第n項テストは発散のみを証明する。$\lim a_n=0$の場合、判定不能であり、収束と結論してはならない。最も一般的な誤用は「$a_n\to0$だから収束する」というもの——これは誤りであり、$\sum\frac1n$が反例となる。
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{2n+1}$ は収束しますか？
- 項: $a_n=\dfrac{n}{2n+1}$。極限: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{2n+1}=\dfrac12$。
- 極限が$\tfrac12\neq0$であるため、級数は第n項テストにより発散する。
第n項テスト: ⟨$\lim_{n\to\infty}a_n\neq 0$（または存在しない） ⟹ $\sum a_n$ 発散。$\lim a_n=0$の場合、テストは判定不能（収束を証明することはない）。まず高速な発散フィルタとして実行せよ。