| English | 意味 |
|---|---|
| infinite series/ˈɪnfɪnət ˈsɪəriːz/ | 無限級数 |
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | 収束する |
| diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/ | 発散する |
| partial sum/ˈpɑːʃl sʌm/ | 部分和 |
Adding up infinitely many numbers
- Can you add up infinitely many terms and get a finite total? Sometimes yes.
- An infinite series 无穷级数 is the sum $a_1+a_2+a_3+\cdots$ of the terms of a sequence.
- It converges 收敛 if the running total approaches a finite number, and diverges 发散 otherwise.
- This unit is all about deciding which — and, when it converges, to what.
Partial sums are the key
- Add the terms one at a time: the partial sum 部分和 $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ is the total of the first $n$ terms.
- These partial sums form their own sequence $S_1,S_2,S_3,\dots$.
- The series' value is defined as the limit of the partial sums: $\displaystyle\sum a_n=\lim_{n\to\infty}S_n$.
- So an infinite sum is really a limit — the same limit idea from Unit 1.
収束級数の項
$1+\tfrac12+\tfrac14+\cdots$ の項は幾何学的に縮小するため、部分和は有限の极限に落ち着く。
無限級数の値は、その...の极限として定義される。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\sum a_n=\lim_{n\to\infty}S_n$.
最初の $n$ 個の項の和 $S_n$ は、第 $n$ ____ 和と呼ばれる。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
級数はこれらの部分和の极限である。
Converge vs. diverge
- Converges: the partial sums $S_n$ approach a finite limit $L$ — that $L$ is the series' sum.
- Diverges: the partial sums grow without bound, or bounce and never settle.
- $1+\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ converges (to $2$); $1+1+1+\cdots$ diverges.
- Convergence is about the partial sums settling down, not the terms.
$1+\tfrac12+\tfrac14+\cdots$ の部分和はどのような极限に向かって上昇するか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
比が $\tfrac12$ である幾何級数は $2$ に収束する。
どの級数が明確に発散するか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
項が $0$ へ縮小しないため、発散する。
級数が収束するのは、その部分和が...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
収束 ＝ 部分和が有限の $L$ に近づくこと。
Terms shrinking is necessary, not enough
- For a series to converge, its terms must shrink to $0$ — otherwise the total can't settle.
- But shrinking terms alone don't guarantee convergence (the harmonic series $\sum\tfrac1n$ has terms $\to0$ yet diverges).
- So "$a_n\to0$" is a necessary condition, not a sufficient one.
- The tests in this unit are the tools for the harder cases.
項$a_n\to 0$が零でない場合、級数は収束しない。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
必要条件ではあるが十分条件ではない。例：$\sum\tfrac1n$は発散する。
A series is a limit of partial sums, not just "the terms." Terms going to $0$ is necessary for convergence but not sufficient — $\sum\frac1n$ has terms $\to0$ yet diverges. Don't conclude convergence just because the terms shrink; you need one of the convergence tests.
Does $1+\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ converge?
- Partial sums: $S_1=1$, $S_2=1.5$, $S_3=1.75$, $S_4=1.875,\dots$
- They climb toward $2$ and never pass it.
- The limit is $2$, so the series converges to $2$.
An infinite series $\sum a_n$ is the limit of its partial sums $S_n=a_1+\cdots+a_n$: it converges to $L$ if $S_n\to L$ (finite), and diverges otherwise. Terms shrinking to $0$ is necessary but not sufficient for convergence.