2つの極曲線の間の領域
- $x,y$ 曲線と同様に、2つの極曲線の間の面積を求めることができます。
- 外側の曲線の内側の面積から、内側の曲線の内側の面積を引きます。
- どちらも $\tfrac12\int r^2\,d\theta$ 積分ですので、答えはその差になります。
- trick は、角度の範囲を設定するために曲線が交差する点を見つけることです。
まず交点の角度を求めよ
- 2つの曲線を等しく置き、$f(\theta)=g(\theta)$ と解いて、交点の角度を求めます。
- これらの角度が、囲まれた領域の積分の範囲 $\alpha,\beta$ となります。
- （極座標での交点は巧妙です — 異なる $\theta$ で同じ点に到達することがありますので、必ず図を描いて確認してください。）
- 対象とする領域はこれらの角度の間にあります。
2つの極曲線の間の面積は $\tfrac12\int_\alpha^\beta(\ ?\ )\,d\theta$ であり、被積分関数は...
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外側を二乗した値から内側を二乗した値を引く。
角度の範囲を設定するには、$f(\theta)=g(\theta)$ を解いて ____ 角を見つける。
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曲線が交差する点が領域の境界となる。
外側の二乗から内側の二乗を引く
- 区間で、どの曲線が外側（大きい $r$ ）で、どの曲線が内側かを特定します。
- 両者の間の面積は以下の通りです：
-
$$A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\Big(\big[r_{\text{outer}}\big]^2-\big[r_{\text{inner}}\big]^2\Big)\,d\theta$$
- 各半径を二乗して引き算し、半分に积分 — これが極座標のワッシャー法です。
2つの極曲線の間の領域
2つの極曲線の間の面積は、外側の扇形から内側の扇形を引くことで求められる — $\tfrac12\int(r_\text{out}^2-r_\text{in}^2)\,d\theta$ 。
区間において、外側の曲線とは...を持つ方である。
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外側 = 原点から遠い = 大きい $r$ 。
まず平方してから引く
- デカルト座標のワッシャーと同じで、$r_{\text{out}}^2-r_{\text{in}}^2$ であり、$(r_{\text{out}}-r_{\text{in}})^2$ ではありません。
- 引き算する前に各半径を二乗してください。
- 区間でどちらが外側かを確認 — 入れ替わることがあるので、区間を分割する必要があります。
- $\tfrac12$ と二乗はどちらも必須です。
$r=2$ の内部、$r=1$ の外部にある面積: $\tfrac12\int_0^{2\pi}(4-1)\,d\theta$ ($\pi$ の倍数として答えよ)。
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$\tfrac12\cdot3\cdot2\pi=3\pi$.
引く前にそれぞれの半径を二乗する必要がある。$(r_\text{out}-r_\text{in})^2$ で引いてはいけない。
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それは $r_\text{out}^2-r_\text{in}^2$ である。
区間で外側と内側の曲線が入れ替わる場合は、交点で積分を分割するべきである。
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分割することで、各部分で「外側−内側」の正しさが保たれる。
被積分関数は $r_{\text{outer}}^2-r_{\text{inner}}^2$ です — 引き算する前に二乗し、決して $(r_{\text{out}}-r_{\text{in}})^2$ にはしません。交点の角度を正しく求め（曲線の図を描く）、区間でどちらの曲線が外側かを確認してください；入れ替わる場合は、交点で積分を分割します。
$r=2$ の中侧で、$r=1$ の外側の面積を求めよ（環状領域）。
- 外側 $r=2$ 、内側 $r=1$ 、すべての角度 $0$ から $2\pi$ 。
- $A=\dfrac12\displaystyle\int_0^{2\pi}\big(2^2-1^2\big)\,d\theta=\dfrac12\int_0^{2\pi}3\,d\theta=\dfrac12\cdot3\cdot2\pi=3\pi$.
- （リングの面積 $\pi(2^2-1^2)=3\pi$ に一致します。） ✓
2つの極曲線の間の面積は $A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\big(r_{\text{outer}}^2-r_{\text{inner}}^2\big)\,d\theta$ です。まず範囲のための交点の角度を求め、外側と内側を特定し、引き算する前に各半径を二乗 — 決して $(r_{\text{out}}-r_{\text{in}})^2$ にはしません。