| English | 意味 |
|---|---|
| area/ˈeərɪə/ | 面積 |
| sectors/ˈsektəz/ | 扇形 |
極曲線が掃く面積
- $y=f(x)$ では面積を垂直な長方形に分割した。極曲線は原点の周りを扫く。
- そこで領域を薄い扇形のセクターに分割し、それぞれ円のスライスとする。
- そのセクターの面積を足し合わせると、極曲線で囲まれた面積となる。
- その結果は $\theta$ におけるきれいな積分となる。
極座標の面積公式
- 角度 $\theta$ の細い扇形は半径 $r=f(\theta)$ 、微小な角度 $d\theta$ を持ち、その面積は $\tfrac12 r^2\,d\theta$ です。
- $\theta=\alpha$ から $\theta=\beta$ までそれらを足し合わせます：
-
$$A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\big(f(\theta)\big)^2\,d\theta$$
- 半径を二乗して半分にし、角度の区間で積分します。
$r=f(\theta)$で囲まれた面積は...
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$r^2$の積分の半分。
$\tfrac12 r^2$ が含まれる理由
- 半径 $r$ 、角度 $\Delta\theta$ の完全な円弧扇形の面積は $\tfrac12 r^2\,\Delta\theta$ です。
- 私たちの細いスライスとは、まさにこの $\Delta\theta\to d\theta$ を持つ扇形に他なりません。
- これらを足し合わせ（積分することで） swept-out region（掃過領域）が蓄積されます。
- 薄く長い長方形を足し合わせるのと同じ発想で、ピエスのスライスを使う極座標版です。
薄い扇形が面積を扫く
極領域は薄いパイの切り欠き状の扇形の和として求められ、それぞれの面積は$\tfrac12 r^2\,d\theta$である。
極座標の面積公式は、細い円形 ____ の面積を足し合わせる。
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各扇形の面積は $\tfrac12 r^2\,d\theta$ 。
角度の範囲の選び方
- 範囲 $\alpha,\beta$ は、曲線が領域を一度だけ扫過する角度の範囲です。
- 単純な曲線の1周分であれば、通常は $0$ から $2\pi$ ですが、多くの曲線はそれより短い範囲で閉じます。
- 薔薇曲線 $r=\cos(3\theta)$ の一花弁は、$r$ の連続する零点の間で扫過されます。
- 範囲を選んで、領域をちょうど一度だけトレースしてください（重複カウントしないよう）。
$r=2$で囲まれた面積を求める: $\tfrac12\int_0^{2\pi}4\,d\theta$ ($\pi$の倍数として答えよ)。
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$\tfrac12\cdot4\cdot2\pi=4\pi$.
極座標の面積公式には $\tfrac12$ という係数を含み、$r$ を二乗する。
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$A=\tfrac12\int r^2\,d\theta$.
角度の範囲 $\alpha,\beta$ は、曲線が領域を...
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複数回たどると面積が重複計算される。
極座標式に$4\pi$を代入すると$r=2$となり、これは…と一致する。
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$\pi(2)^2=4\pi$ — 両者は一致する。
公式は$\tfrac12\int r^2\,d\theta$である——$\tfrac12$や$r$の2乗を忘れないように。そして$\alpha,\beta$を選び、曲線が領域をちょうど一度トレースするようにする：角度範囲を超えると面積が重複カウントされる（例として完全なローズの花びらは、连续する$r=0$値間の角度が必要であり、$0$から$2\pi$ではない）。
$r=2$ （半径 $2$ の円）によって囲まれた面積を求めます。
- $A=\dfrac12\displaystyle\int_0^{2\pi}(2)^2\,d\theta=\dfrac12\int_0^{2\pi}4\,d\theta=\dfrac12\cdot4\cdot2\pi=4\pi$.
- これは有名な円の面積 $\pi r^2=\pi(2)^2=4\pi$ に一致します。 ✓
極曲線 $r=f(\theta)$ で囲まれた面積は $A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\big(f(\theta)\big)^2\,d\theta$ です — 細い扇形 $\frac12 r^2\,d\theta$ を足し合わせたものです。$\frac12$ と二乗を残し、領域がちょうど一度だけトレースされるように角度の範囲を選びます。