平面運動の全体像
- これらを統合する：$\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$ で記述される平面上を動く粒子。
- 微分して速度と加速度を得、逆方向へ進むためには積分する。
- 速度の成分から速さと移動距離を計算する。
- このレッスンは、あらゆるBC平面運動問題のためのツールボックスである。
位置、速度、加速度
- 位置： $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$。
- 速度： $\mathbf{v}(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ —— 運動の方向であり、軌道に接する。
- 加速度： $\mathbf{a}(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$。
- 微分して上へ進み、初期条件付きで積分して下へ進む。
The velocity vector is tangent to the path; its magnitude is the ____.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Speed = magnitude of velocity.
速さと移動距離
- 時刻 $t$ での速さ：$|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^2+\big(y'(t)\big)^2}$ —— スカラー量である。
- $[a,b]$ 期間中の移動距離：速さを積分した ⟨⟩ $\displaystyle\int_a^b |\mathbf{v}(t)|\,dt$。
- それは同じ弧長積分であり、全経路の長さであり、常に負ではない。
- 速さは「今すぐの速さ」に答え、積分は「総合的な距離」に答える。
A velocity component over time
y = bx
Speed combines the velocity components; integrating speed over time gives the total distance the particle travels.
For $\mathbf{v}(t)=\langle 2t,3\rangle$, find the speed at $t=2$.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\sqrt{4^2+3^2}=5$.
Distance traveled over $[a,b]$ is...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Integrate the speed (magnitude of velocity).
後の時刻における位置
- 時刻 $b$ における粒子の場所を見つけるには：既知の位置から始まり、蓄積された変化を加える。
- $x(b)=x(a)+\displaystyle\int_a^b x'(t)\,dt$、同様に $y$ についても——成分ごとに別々に行う。
- これは「最終 = 初期 + 蓄積変化」であり、座標ごとに実行する。
- 2つの結果を統合して、時刻 $b$ における位置ベクトルとする。
Which of these are vectors (not scalars)?
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Velocity and acceleration are vectors; speed and distance are scalars.
The $x$-position at time $b$ is $x(a)$ plus...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Final = initial + accumulated change of $x$.
Distance traveled equals the magnitude of the displacement vector.
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Distance is $\int|\mathbf{v}|\,dt$; displacement magnitude can be smaller.
ベクトルとスカラーを区別しておく：速度と加速度はベクトル（方向＋大きさ）であり、速さと距離はスカラーである。移動距離は $\int|\mathbf{v}|\,dt$（速さの積分）であり、変位 $\int \mathbf{v}\,dt$ や $|\int\mathbf{v}\,dt|$ ではない。また、後の位置を求めるには、成分の積分を初期位置に加える。
粒子が $\mathbf{v}(t)=\langle 2t,\ 3\rangle$ を持つ。$t=2$ における速さを見つけて、$[0,2]$ 期間中の移動距離を立てよ。
- $t=2$ における速さ：$|\mathbf{v}(2)|=\sqrt{(4)^2+3^2}=\sqrt{25}=5$。
- $[0,2]$ 期間中の距離：$\displaystyle\int_0^2\sqrt{(2t)^2+3^2}\,dt=\int_0^2\sqrt{4t^2+9}\,dt$ （数値で評価）。
平面運動 $\mathbf{r}(t)=\langle x,y\rangle$ において：速度 $\mathbf{v}=\mathbf{r}'$、加速度 $\mathbf{a}=\mathbf{r}''$（ベクトル）、速さ $|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$ および 移動距離 $\int_a^b|\mathbf{v}|\,dt$（スカラー）。 later の位置を求めるには、$x',y'$ の成分ごとの積分値を初期位置に加える。