| English | 意味 |
|---|---|
| vector-valued function/ˈvektə ˈvæljuːd ˈfʌŋkʃn/ | ベクトル値関数 |
運動を単一の矢印にまとめます
- パラメータ曲線は $x(t)$ と $y(t)$ を別々に与えます。これらを一つのオブジェクトに束ねます：ベクトル値関数 です。
- $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$ は 位置ベクトル です — 原点から動く点へ向かう矢印です。
- 平面運動をコンパクトに記述し、座標を同時に追跡します。
- パラメータ曲線に関するすべてのことが、ここでベクトル形式として再出現します。
r(t)によって描かれる軌道
y = ax² + bx
位置ベクトル$\mathbf{r}(t)$は動く粒子を指し、その導関数（成分ごとに）は速度ベクトルである。
成分ごとに微分します
- ベクトル値関数を微分するには、各成分 を別々に微分するだけです：
-
$$\mathbf{r}'(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$$
- 新しい法則はありません — ベクトルの導関数は、導関数のベクトルです。
- $\mathbf{r}'(t)$ は 速度ベクトル であり、運動の方向を指しています。
$\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$を微分するには...
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$\mathbf{r}'=\langle x',y'\rangle$.
速度と加速度ベクトル
- $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ — 速度ベクトル。
- $\mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$ — 加速度ベクトル。
- 各成分をもう一度微分することで求められます。
- 速度ベクトルは軌道に接しており、その大きさは速度です。
$\mathbf{r}(t)=\langle t^2,\sin t\rangle$に対して、速度$\mathbf{v}(t)=$
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
各成分を微分する。
加速度ベクトルは...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
位置を二回微分する：$\mathbf{a}=\mathbf{r}''$。
速度は速度ベクトルの大きさ
- 速度はベクトルではありません——それは大きさ$|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^2+\big(y'(t)\big)^2}$です。
- それはパラメータ弧長と同じ速度の被積分関数です。
- つまり、速度は方向と大きさを持ちますが、速度（スカラー）はその大きさのみです。
- 位置→速度→加速度へと、成分ごとに微分します。
$\mathbf{v}(0)=\langle 0,1\rangle$に対して、速さ$|\mathbf{v}(0)|$を求める。
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$\sqrt{0^2+1^2}=1$.
速さはベクトルであり、速度と同じである。
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速さはスカラーの大きさ$|\mathbf{v}|$である。
速さは速度ベクトルの ____ に等しい。
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$|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$.
ベクトルを成分ごとに微分してください。「全体ベクトル」を一つの混雑した式として微分しようと試みないでください。また、速度（ベクトル）と速度（その大きさ、スカラー）を明確に区別してください：$|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$、決して単なる$x'+y'$だけではありません。
$\mathbf{r}(t)=\langle t^2,\ \sin t\rangle$について、$\mathbf{v}(t)$と$t=0$における速度を求めよ。
- $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\langle 2t,\ \cos t\rangle$.
- $t=0$ において： $\mathbf{v}(0)=\langle 0,\ 1\rangle$。
- 速度 $=|\mathbf{v}(0)|=\sqrt{0^2+1^2}=1$ 。
ベクトル値関数$\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$は平面運動を表します。それを成分ごとに微分します：$\mathbf{v}=\mathbf{r}'=\langle x',y'\rangle$（速度）、$\mathbf{a}=\mathbf{r}''$（加速度）。速度は大きさ$|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$——速度ベクトルとは異なるスカラーです。