| English | 意味 |
|---|---|
| arc length/ɑːk leŋθ/ | 弧長 |
| speed/spiːd/ | 速さ |
パラメータ点が移動する距離
- パラメータ点 $\big(x(t),y(t)\big)$ が平面上を動きます。その軌跡の長さはいくつですか？
- それは $t=a$ から $t=b$ までのパラメータ曲線の 弧長 です。
- 各微小時間ステップで、点は横方向に $dx=\tfrac{dx}{dt}\,dt$ 、縦方向に $dy=\tfrac{dy}{dt}\,dt$ だけ移動します。
- その微小な斜辺を加算して全長を得ます。
公式
- 微小ステップの長さは $\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{\big(\tfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\tfrac{dy}{dt}\big)^2}\,dt$ です。
- 時間の区間について積分します：
-
$$L=\int_a^b \sqrt{\Big(\tfrac{dx}{dt}\Big)^2+\Big(\tfrac{dy}{dt}\Big)^2}\,dt$$
- 両成分の導関数を二乗して加え、平方根を取り、$t$ について積分します。
The arc length of a parametric curve is $\int_a^b(\ ?\ )\,dt$ where the integrand is...
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Both derivatives squared, added, under a root.
For $x=t^2$, $y=t^3$: $(dx/dt)^2+(dy/dt)^2=$
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$(2t)^2+(3t^2)^2=4t^2+9t^4$.
被積分関数は速度
- $\sqrt{\big(\tfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\tfrac{dy}{dt}\big)^2}$ はまさに動く点の 速度 です。
- 速度は単位時間あたりの距離であり、時間をかけて速度を積分すれば全距離になります。
- つまり、弧長 ＝ 速度の積分 — 「距離 ＝ ∫ 速度 dt」のパラメータ版です。
- これは運動問題（Lesson 9.6）と直接結びついています。
Length is the integral of speed
y = ax^{1.5}
The parametric arc-length integrand is the point's speed — integrating speed over time gives the distance traveled.
The parametric arc-length integrand equals the point's ____.
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Integral of speed = distance.
The parametric arc length is the same integral used for a particle's...
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Integral of speed = distance traveled.
実務での設定
- $\tfrac{dx}{dt}$ と $\tfrac{dy}{dt}$ を計算し、二乗して加え、平方根を取ります。
- 始点$t$から終点$t$まで積分します（$t$区間であり、$x$や$y$ではありません）。
- これらの積分の多くは電卓が必要ですが、設定自体が評価対象のスキルです。
- 両方の導関数を保持してください。片方を消すと対角運動が見失われます。
The limits of integration for parametric arc length are $t$-values.
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Integrate over the time interval.
You can drop $\tfrac{dy}{dt}$ if $\tfrac{dx}{dt}$ is larger.
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Both derivatives are needed for the diagonal motion.
積分区間は $t$-値（時間の区間）であり、両方 の $\tfrac{dx}{dt}$ と $\tfrac{dy}{dt}$ が現れ、それぞれ平方根の下で 二乗 されています。$x$-限界を使ってはいけません。また、2つの導関数のどちらかを忘れないでください。これは移動した距離と同じ「速度の積分」であり、符号付き量ではないため絶対値は必要ありません（平方根Already $\ge0$ 因此非负）。
$x=t^2,\ y=t^3$ の長さを探します、$0\le t\le 1$ の間隔で。
- $\tfrac{dx}{dt}=2t$ , $\tfrac{dy}{dt}=3t^2$ ; 二乗和 $=4t^2+9t^4=t^2(4+9t^2)$ 。
- $L=\displaystyle\int_0^1 \sqrt{t^2(4+9t^2)}\,dt=\int_0^1 t\sqrt{4+9t^2}\,dt$.
- $u$ -置換 $u=4+9t^2$ : $=\tfrac{1}{27}\big(13^{3/2}-8\big)\approx1.44$ 。
参数曲线的弧长是$L=\int_a^b\sqrt{\big(\tfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\tfrac{dy}{dt}\big)^2}\,dt$在**$t$区间上的值。被积函数是该点的速度**，因此这是速度积分=移动距离。将两个分量导函数平方后置于同一个根号下。