| English | 意味 |
|---|---|
| parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ | パラメータ方程式 |
| parameter/pəˈræmɪtə/ | パラメータ |
A curve traced by a moving point
- Instead of $y=f(x)$, describe a curve by giving $x$ and $y$ each as a function of a third variable.
- These are parametric equations 参数方程: $x=f(t)$ and $y=g(t)$, with parameter 参数 $t$.
- Think of $t$ as time: as $t$ runs, the point $\big(x(t),y(t)\big)$ traces the curve.
- This lets you draw loops and vertical stretches that no single $y=f(x)$ can.
パラメータがたどる曲線
y = ax³ + bx
パラメータ方程式は点がループや垂直な伸びを含む曲線を描くことを可能にします—単一の $y=f(x)$ では描けないものです。
$x=f(t)$、$y=g(t)$において、変数$t$は____と呼ばれます。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
パラメータは両方の座標を駆動します。
The parameter drives both coordinates
- At each $t$, plug into both equations to get a point $\big(x(t),y(t)\big)$.
- The curve is the path swept out as $t$ increases — with a direction of travel.
- Example: $x=\cos t,\ y=\sin t$ traces the unit circle counterclockwise.
- Eliminating $t$ (when possible) recovers a relation between $x$ and $y$.
どの参数方程式が単位円を描きますか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\cos^2 t+\sin^2 t=1$が単位円を描きます。
The slope $\tfrac{dy}{dx}$ from derivatives in $t$
- To find the curve's slope, differentiate each coordinate in $t$ and divide:
-
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$$
- Both $\tfrac{dy}{dt}$ and $\tfrac{dx}{dt}$ come from the two equations; their ratio is the slope.
- (This is the chain rule: $\tfrac{dy}{dt}=\tfrac{dy}{dx}\cdot\tfrac{dx}{dt}$, rearranged.)
パラメータ曲線において、 $\dfrac{dy}{dx}=$
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
上÷下：$\frac{dy/dt}{dx/dt}$ 。
$x=t^2$ 、$y=t^3$ 、$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t}{2}$ に対して。$t=2$ での傾きを見つけてください。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\frac{3(2)}{2}=3$.
Horizontal and vertical tangents
- Horizontal tangent: $\tfrac{dy}{dt}=0$ (and $\tfrac{dx}{dt}\neq0$) — the slope is $0$.
- Vertical tangent: $\tfrac{dx}{dt}=0$ (and $\tfrac{dy}{dt}\neq0$) — the slope is undefined.
- These come directly from the two component derivatives.
- So the same $\tfrac{dy}{dt}$, $\tfrac{dx}{dt}$ give both the slope and its special cases.
パラメータ曲線が水平接線を持つのはどこか...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
水平 ⇔ 傾き $0$ ⇔ $\tfrac{dy}{dt}=0$ 。
垂直接線は $\dfrac{dx}{dt}=$ が ____ （そして $\tfrac{dy}{dt}\neq0$ ）な地点で発生します。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
ゼロ $\tfrac{dx}{dt}$ → 傾きの不確定 → 垂直。
The slope is $\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ — a ratio of the two derivatives, not $\dfrac{d}{dt}\big[\tfrac yx\big]$ or $\dfrac{dy}{dt}\cdot\dfrac{dx}{dt}$. And it's top over bottom: $\tfrac{dy}{dt}$ divided by $\tfrac{dx}{dt}$. Swapping them inverts the slope.
For $x=t^2,\ y=t^3$, find $\dfrac{dy}{dx}$ at $t=2$.
- $\dfrac{dx}{dt}=2t$, $\dfrac{dy}{dt}=3t^2$.
- $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2}{2t}=\dfrac{3t}{2}$.
- At $t=2$: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3(2)}{2}=3$.
Parametric equations $x=f(t)$, $y=g(t)$ trace a curve as the parameter $t$ varies. The slope is $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$ (top over bottom). A horizontal tangent has $\frac{dy}{dt}=0$; a vertical tangent has $\frac{dx}{dt}=0$.