| English | 意味 |
|---|---|
| Arc length/ɑːk leŋθ/ | 弧長 |
曲線の長さの測定
- 面積や体積は積分でしたが、曲線の長さそのものもまた積分です。
- 弧長とは、曲線上の微小な直線部分の長さの総和です。
- 各微小部分において、曲線はほぼ直線であり、小さな直角三角形の斜辺に相当します。
- これらの斜辺を合計（積分）して全長を得ます。
微小三角形から公式へ
- 微小部分には水平方向の変化量 $dx$ と垂直方向の変化量 $dy=f'(x)\,dx$ があります。
- その長さは $\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$ （三平方の定理）です。
- $a$ から $b$ までそれらを足し合わせます：
-
$$L=\int_a^b \sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$$
曲線はその弦よりも長い
y = a·x^{1.5}
弧長は微小な斜辺 $\sqrt{1+(f')^2}\,dx$ を合計します—常に水平距離 $b-a$ 以上です。
$y=f(x)$ の $[a,b]$ における弧長は...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
導関数を二乗して1を加え、平方根をとる。
公式の利用
- $f'(x)$を計算し、それを二乗して$1$を加え、平方根を取り、$[a,b]$について積分する。
- 被積分関数は常に $\ge1$ なので、弧長は少なくとも水平距離 $b-a$ 以上となります（曲線は直線よりも長い）。
- 多くの弧長積分は手計算では困難です。BC試験では、多くの場合に式を立てて数値的に評価します。
- 重要なスキルは、$f'$ から正しい被積分関数を構築することです。
$y=\tfrac23 x^{3/2}$ に対して、$f'(x)=x^{1/2}$ 。弧長の被積分関数は...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$(f')^2=x$ 、したがって $\sqrt{1+x}$ 。
$\int_0^3 \sqrt{1+x}\,dx$ を評価します（小数）。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\tfrac23(8-1)=\tfrac{14}{3}\approx4.667$.
被積分関数が $\ge 1$ であるため、弧長は常に以下以上です...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
曲線は直線の進行距離以上です。
移動した距離としての弧長
- 粒子が $y=f(x)$ 上を動く場合、弧長はその粒子が軌道上を進んだ距離となります。
- （運動が $x(t),y(t)$ で与えられている場合、パラメトリック版はImplemented in Lesson 9.3。）
- つまり、同じ積分は曲線の幾何学的長さでもあり、軌道を進んだ距離でもあります。
- 式立ては同一であり、解釈だけが異なります。
弧長の被積分関数は導関数 $f'(x)$ を使用し、$f(x)$ は使用しません。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
それは $\sqrt{1+(f'(x))^2}$ である。
経路 $y=f(x)$ に沿って、弧長は ____ traveled も測ります。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
弧長＝経路に沿った移動距離。
被積分関数は$\sqrt{1+(f'(x))^2}$です——導関数の二乗があり、ルートの中身には$\boldsymbol{+1}$があります（外ではありません）。$\sqrt{1+f(x)^2}$（$f$を$f'$の代わりに使うなど）と書いたり、$+1$を忘れたりしないでください。そして積分する前に全体が一つの平方根の下にあります。
$y=\tfrac23 x^{3/2}$ の $x=0$ から $x=3$ までの弧長を立てよ。
- $f'(x)=x^{1/2}$ なので、$\big(f'(x)\big)^2=x$ 。
- $L=\displaystyle\int_0^3 \sqrt{1+x}\,dx=\Big[\tfrac23(1+x)^{3/2}\Big]_0^3=\tfrac23(8-1)=\tfrac{14}{3}$.
$y=f(x)$ の$[a,b]$ における弧長は $L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$ ——微小な斜辺 $\sqrt{1+(f')^2}\,dx$ を合計する。根号の中に導関数の二乗と $1$ を足し込み、積分する。これは軌道に沿って移動した距離も与える。