| English | 意味 |
|---|---|
| cross sections/krɒs ˈsekʃnz/ | 断面 |
薄いスラブを積み上げて立体を作る
- 積分は面積だけでなく、立体の薄いスライスの加算によって体積も求められます。
- 立体を軸に垂直にスライスします。各スライスはある断面積$A(x)$を持つ薄いスラブです。
- それらを加算します：$V=\displaystyle\int_a^b A(x)\,dx$ — 断面積の積分です。
- この授業では、断面が正方形または長方形である立体を取り扱います。
一般的な体積の公式
- $x$における断面の面積が$A(x)$、厚みが$dx$の場合、その微小な体積は$A(x)\,dx$です。
- 立体全体で加算します：$$V=\int_a^b A(x)\,dx$$
- すべては以下に帰着します：断面積を$x$の関数として書き、その後積分する。
- 難しいのは微分積分学ではなく、1つのスライスの幾何学です。
断面の面積が $A(x)$ である立体の体積は...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
板 $A(x)\,dx$ を積み上げる。
$V=\int_a^b A(x)\,dx$ を用いるには、断面のスライス（切り口）は...でなければならない。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
スライスは、積分を行う軸に垂直である。
正方形断面
- 一般的な設定: 断面は正方形であり、その底辺は2つの曲線に挟まれた領域に乗っています。
- 底辺の長さが $s(x)$ (通常は $f(x)-g(x)$、すなわち曲線間の距離) の場合、正方形の面積は $s(x)^2$ です。
- よって $V=\displaystyle\int_a^b \big(s(x)\big)^2\,dx$。
- 各正方形の底辺は領域全体を跨ぎ、その面積は「底辺の二乗」です。
√x の下の基底領域
y = a·√x
各正方形スライスは基底の上に置かれ、その辺の長さは高さ $\sqrt{x}$ であるため、面積は $(\sqrt{x})^2=x$ となる。
底辺が $s(x)$ の正方形断面の場合、面積は...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
辺の長さ $s$ の正方形の面積は $s^2$ 。
断面の底辺の長さは通常、境界曲線間の距離であり、 $f(x)-g(x)$ となる。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
底辺は曲線間の領域にまたがる。
長方形断面
- 長方形の場合、面積は「底辺 $\times$ × 高さ $A(x)=s(x)\cdot h(x)$」です。
- 高さは底辺の一定倍である場合や、問題文で別個に与えられる場合があります。
- $V=\displaystyle\int_a^b s(x)\,h(x)\,dx$.
- 正しい高さのルールを得るために、問題文をよく読み解く必要があります。
$y=\sqrt x$ における $[0,4]$ の下の底辺、正方形断面: $A(x)=x$ 。 $V=\int_0^4 x\,dx$ を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\big[\tfrac{x^2}{2}\big]_0^4=8$.
長方形断面の場合、面積 ＝ 底辺 ____ 高さ。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
長方形の $A=s\cdot h$ 。
底辺の長さ $s(x)$ は通常、境界となる曲線同士の距離 ($f(x)-g(x)$) や、曲線と軸との距離です。二乗する前に、底辺が何を跨んでいるかを見極める必要があります。正方形の場合、面積は $s(x)^2$ です（全体の隙間を二乗することを忘れないでください）。スライス（断片）は、積分を行う軸に対して垂直である必要があります。
立体の底面は$y=\sqrt{x}$の下の領域で$x=0$から$4$までであり、$x$軸に垂直な断面は正方形である。
- 各正方形の底辺は $s(x)=\sqrt{x}$ （曲線から $x$ 軸までの距離）です。
- 断面の面積: $A(x)=(\sqrt{x})^2=x$ 。
- $V=\displaystyle\int_0^4 x\,dx=\Big[\tfrac{x^2}{2}\Big]_0^4=8$.
立体の体積は、その断面の面積の積分である $V=\int_a^b A(x)\,dx$ です。正方形断面で底辺が $s(x)$ の場合、$A(x)=s(x)^2$ です；長方形の場合、$A(x)=s(x)\cdot h(x)$ です。底辺 $s(x)$ を見つけ（通常は曲線間の隙間）、$A(x)$ を書き出し、積分を行います。