| English | 意味 |
|---|---|
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | 定積分 |
ここから始め、変化量を加え、着地点へ
- 多くの応用問題は、ある レート（割合） と初期量を提示し、後の総量を問うものです。
- 重要な関係式：最終値 ＝ 初期値 ＋ 蓄積された変化量。
- 蓄積された変化量は、その区間におけるレートの定積分です。
- この1つのアイデアがタンク、人口、預金残高など、あらゆる事象の根幹を支えています。
蓄積の公式
- $R(t)$ がレート、$Q$ が quantity（量）である場合：
-
$$Q(b)=Q(a)+\int_a^b R(t)\,dt$$
- $Q(a)$ から始め、純粋な蓄積変化量 $\displaystyle\int_a^b R(t)\,dt$ を加え、$Q(b)$ に到達します。
- これは応用的な形での微積分基本定理です：レートの積分は、その量の純変化量です。
流入量の蓄積は面積である
y = 4t（流入率）
流入率 $R(t)$ の曲線下の面積は追加された水量であり、合計量は初期量にその面積を加えたものとなる。
適用される蓄積の関係式は以下の通り：最終値 = ...
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最終値 ＝ 初期値 ＋ 蓄積変化量。
最終量を求めるには、蓄積変化量を ____ 値に加える。
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最終値 ＝ 初期値 ＋ 率の積分。
文脈と単位を読み取る
- 比率の定数積分の単位は (比率の単位)$\times$(時間の単位) = 量の単位となる。
- ⟨リットル/分⟩ を$\int$ 分の時間で積分すればリットルになり、$\int$ ⟨人/年⟩ を年数で積分すれば人数になります。
- 符号は重要です：負のレート（排水、冷却）は総量から 差し引か れます。
- 常に、問題文の言葉と単位に従って積分を解釈してください。
タンクには $50$ L の水があり、$R(t)=4t$ で $0\le t\le 3$ （$\int_0^3 4t\,dt=18$ ）の期間流入する。$t=3$ における総量を求めよ。
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$50+18=68$ L.
$R$ がリットル/分、$t$ が分であれば、$\int R\,dt$ の単位は...
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(リットル/分) × (分) ＝ リットル。
純変化と総変化
- 積分 $\int_a^b R\,dt$ は 純変化 です — 流入量から流出量を引いたもの。
- タンクが '充填され' かつ '排水される' 場合、純積分は両方を自動的に考慮します。
- 分別して全 '追加' または全 '除去' を求めるには、正の部分または負の部分のみを積分します。
- しかし、「最終値 ＝ 初期値 ＋ 純蓄積変化量」では、常に単純な符号付き積分を使います。
率の定義積分は変化量を与え、それだけでは最終総量にはならない。
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初期値を加える必要がある。
流出（排水）率について、区間での積分は...
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流出率は負 → 減算される。
最終量を 積分だけ で報告しないでください — それは 変化量 に過ぎません。初期値 を加える必要があります：最終 $=$ ＝ 初期 $+\int_a^b R\,dt$ ＋ 変化。レートの符号も維持してください：流出レートは負なので、その積分は初期総量から正しく差し引かれます。
あるタンクは $50$ L を $t=0$ に持っています。水が $R(t)=4t$ L/min で $0\le t\le 3$ 分流入します。$t=3$ には何リットルありますか？
- 蓄積変化量：$\displaystyle\int_0^3 4t\,dt=\Big[2t^2\Big]_0^3=18$ L。
- 最終 $=$ ＝ 初期 $+$ ＋ 変化 $=50+18=68$ L。
- （積分 $18$ は '追加' された水；$68$ は '全量'。）
応用問題において、最終値 ＝ 初期値 ＋ 蓄積された変化量 です。ここで変化量はレートの 定積分 ：$Q(b)=Q(a)+\int_a^b R(t)\,dt$ です。積分には量の単位と符号（流入はプラス、流出はマイナス）が含まれます。初期値を追加することを絶対に忘れないでください。